(a) Determine o volume abaixo do parabolóide z = x^2 + 3y^2 e acima da região R limitada pelas curvas x=0, y=x e y = 2 - x.

Passo 1

Ok, vamos lá! Primeiro, precisamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos calcular o volume que está abaixo do parabolóide e acima da região no plano , que é delimitada pelas curvas , e . Para resolver isso, vamos usar integrais duplas, que nos ajudam a calcular volumes sob superfícies sobre uma região específica.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar a região para entender melhor os limites de integração. As curvas que delimitam são:
  1. (o eixo y)
  2. (uma linha que passa pela origem com inclinação 1)
  3. (uma linha que intercepta o eixo y em e tem inclinação -1)
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para determinar os limites de integração.

Passo 3

Vamos encontrar onde e se encontram:
Então, também. Portanto, as curvas se cruzam no ponto . A região é um triângulo com vértices em , e .

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral dupla para o volume. A função que nos dá o parabolóide é . Nosso objetivo é integrar essa função sobre a região .
Vamos decidir pela ordem de integração. Observando os limites, é mais fácil integrar em relação a primeiro e depois em relação a . Para isso, precisamos expressar em termos de .

Passo 5

Observando a região , para um valor fixo de , varia de até (já que ). Além disso, varia de 0 a 1, e de 1 a 2, os limites de mudam para até . Mas, para simplificar, podemos dividir a região em duas partes ou encontrar uma maneira de expressar de forma contínua.
No entanto, é mais simples dividir a integral em duas partes:
  1. De a , com de 0 a
  2. De a , com de 0 a

Passo 6

Vamos escrever a integral dupla como a soma dessas duas integrais:
Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 7

Primeiro, calculamos a primeira integral:
Integrando em relação a :
Agora, integramos isso em relação a :

Passo 8

Agora, calculamos a segunda integral:
Integrando em relação a :
Agora, vamos integrar isso em relação a :
Vamos resolver cada parte separadamente:
Fazendo a substituição , , os limites mudam de para e para :
Agora, a segunda parte:
Somando as duas partes da segunda integral:

Resposta

O volume solicitado é . Portanto, o volume é unidades cúbicas.

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