Considere o campo vetorial F(x, y) = (2 x + y, x - 3 y^2).
(a) Sabendo que F é conservativo, determine uma função potencial para F.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar uma função potencial para o campo vetorial . Isso significa que estamos trabalhando com campos vetoriais conservativos, que têm essa função especial que, basicamente, pode “gerar” o campo vetorial através de suas derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar essa função potencial passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial conservativo. É um campo onde existe uma função escalar f(x, y) tal que:
Isso significa que as componentes do campo vetorial são as derivadas parciais de f em relação a x e y. Ou seja:
No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos começar encontrando a função f(x, y) integrando P(x, y) em relação a x. Ou seja:
Integrando termo a termo:
Aqui, é uma função arbitrária de y, já que ao integrar em relação a x, a constante de integração pode depender de y.

Passo 4

Agora, para encontrar , vamos utilizar a segunda condição: . Vamos calcular a derivada de f(x, y) em relação a y:
Mas sabemos que isso deve ser igual a . Então:
Subtraindo x de ambos os lados:

Passo 5

Agora, vamos integrar para encontrar :
Onde C é a constante de integração. Podemos considerar para simplificar.

Resposta

A função potencial para o campo vetorial é:

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