Considere o campo vetorial
.
(a) Sabendo que
é conservativo, determine uma função potencial para
.
(a) Sabendo que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar uma função potencial para o campo vetorial
. Isso significa que estamos trabalhando com campos vetoriais conservativos, que têm essa função especial que, basicamente, pode “gerar” o campo vetorial através de suas derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar essa função potencial passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial conservativo. É um campo onde existe uma função escalar
tal que:
Isso significa que as componentes do campo vetorial são as derivadas parciais de
em relação a
e
. Ou seja:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Vamos começar encontrando a função
integrando
em relação a
. Ou seja:
Integrando termo a termo:
Aqui,
é uma função arbitrária de
, já que ao integrar em relação a
, a constante de integração pode depender de
.
Passo 4
Agora, para encontrar
, vamos utilizar a segunda condição:
. Vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Mas sabemos que isso deve ser igual a
. Então:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 5
Agora, vamos integrar
para encontrar
:
Onde
é a constante de integração. Podemos considerar
para simplificar.
Resposta
A função potencial para o campo vetorial
é:
Exercícios relacionados
Marque os pontos cujas coordenadas polares são dadas. A seguir, encontre dois outros pares de coordenadas polares desse ponto, um com
e o outro com
.
(b) É correto afirmar que
é função pontencial de algum campo? Se sim, qual campo?
Calcule a integral de linha
onde
e
é a circunferência de centro
e raio 1 orientada no sentido horário.
A partir da definição, avalie as funções a seguir nos pontos indicados.
e