b) Dada a função f(x, y) = x^2 * y e o ponto (1, 1), determine o vetor unitário para o qual a derivada direcional seja máxima e o valor máximo da derivada direcional

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e um ponto específico, que é . A questão pede para a gente encontrar o vetor unitário que faz a derivada direcional ser máxima nesse ponto e também o valor máximo dessa derivada. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente o conceito de derivada direcional e o gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada direcional. A derivada direcional de uma função na direção de um vetor unitário em um ponto é dada por:
Aqui, é o gradiente da função .

Passo 3

Então, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e :
Calculando as derivadas:
No ponto :

Passo 4

Para encontrar o vetor unitário que maximiza a derivada direcional, sabemos que isso ocorre na direção do gradiente. Ou seja, o vetor unitário que maximiza é o próprio gradiente normalizado.
Primeiro, normalizamos o gradiente :
Então, o vetor unitário é:

Passo 5

Agora, para encontrar o valor máximo da derivada direcional, basta calcular o produto do vetor gradiente pelo seu próprio módulo:
á

Resposta

O vetor unitário que maximiza a derivada direcional em é:
E o valor máximo da derivada direcional é:

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