b) Dada a função
e o ponto (1, 1), determine o vetor unitário para o qual a derivada direcional seja máxima e o valor máximo da derivada direcional
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e um ponto específico, que é
. A questão pede para a gente encontrar o vetor unitário que faz a derivada direcional ser máxima nesse ponto e também o valor máximo dessa derivada. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente o conceito de derivada direcional e o gradiente da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada direcional. A derivada direcional de uma função
na direção de um vetor unitário
em um ponto
é dada por:
Aqui,
é o gradiente da função
.
Passo 3
Então, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Calculando as derivadas:
No ponto
:
Passo 4
Para encontrar o vetor unitário que maximiza a derivada direcional, sabemos que isso ocorre na direção do gradiente. Ou seja, o vetor unitário
que maximiza
é o próprio gradiente normalizado.
Primeiro, normalizamos o gradiente
:
Então, o vetor unitário é:
Passo 5
Agora, para encontrar o valor máximo da derivada direcional, basta calcular o produto do vetor gradiente pelo seu próprio módulo:
Resposta
O vetor unitário que maximiza a derivada direcional em
é:
E o valor máximo da derivada direcional é: