(a)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais e . O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais ordinárias e, mais especificamente, a resolução por séries de potência. Para resolver, vamos supor que a solução pode ser expressa como uma série de potências e determinar os coeficientes dessa série.

Passo 2

Vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências centrada em :
onde são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Calculamos as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 4

Substituímos , e na equação diferencial:

Passo 5

Vamos ajustar os índices das somas para que todas comecem com :
Primeiro termo:
Substituindo :
Segundo termo:
Multiplicando pela série:
Terceiro termo:
Já está em termos de .

Passo 6

Agora, alinhamos as potências de e igualamos os coeficientes a zero:
Para cada :
simplificando:

Passo 7

Usamos as condições iniciais para encontrar e :

Passo 8

Agora, podemos usar a relação de recorrência para encontrar os coeficientes seguintes:
Para :
Continuamos assim para encontrar mais termos.

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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    (a)
    R.:
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l)
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    (a)
    R.: