(a) y^prime prime+x y^prime+2 y=0, y(0)=4, y^prime(0)=-1
R: y(x)=4(1+sumk=1^infty (-1)^k(2 k-1)(2 k-3) cdots 3 cdot x^2 k)-1(x+sumk=1^infty (-1)^k(2 k)(2 k-2) cdots 2 cdot x^2 k+1)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
y'' + x y' + 2 y = 0
com as condições iniciais e . O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais ordinárias e, mais especificamente, a resolução por séries de potência. Para resolver, vamos supor que a solução pode ser expressa como uma série de potências e determinar os coeficientes dessa série.

Passo 2

Vamos assumir que a solução y(x) = sumn=0^infty an x^n pode ser escrita como uma série de potências centrada em :
onde são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Calculamos as derivadas de y'(x) = sumn=1^infty n an x^n-1 :
Primeira derivada:
y''(x) = sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2
Segunda derivada:

Passo 4

Substituímos sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2 + x ( sumn=1^infty n an x^n-1 ) + 2 ( sumn=0^infty an x^n ) = 0 , e na equação diferencial:

Passo 5

Vamos ajustar os índices das somas para que todas comecem com summ=0^infty (m+2)(m+1) am+2 x^m :
Primeiro termo:
Substituindo sumn=1^infty n an x^n = summ=0^infty (m+1) am+1 x^m+1 :
Segundo termo:
Multiplicando pela série:
Terceiro termo:
Já está em termos de .

Passo 6

Agora, alinhamos as potências de (m+2)(m+1) am+2 + (m+1) am+1 + 2 am = 0 e igualamos os coeficientes a zero:
Para cada am+2 = - (m+1) am+1 - 2 am (m+2)(m+1) :
simplificando:

Passo 7

Usamos as condições iniciais para encontrar e :

Passo 8

Agora, podemos usar a relação de recorrência para encontrar os coeficientes seguintes:
Para a2 = - (1) a1 - 2 a0 2 cdot 1 = - (-1) - 2 cdot 4 2 = 1 - 82 = -72 :
Continuamos assim para encontrar mais termos.

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = 4 ( 1 + sumk=1^infty (-1)^k (2k-1)(2k-3) cdots 3 x^2k ) -1 ( x + sumk=1^infty (-1)^k (2k)(2k-2) cdots 2 x^2k+1 )

Exercícios relacionados