(a)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais
e
. O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais ordinárias e, mais especificamente, a resolução por séries de potência. Para resolver, vamos supor que a solução
pode ser expressa como uma série de potências e determinar os coeficientes dessa série.
Passo 2
Vamos assumir que a solução
pode ser escrita como uma série de potências centrada em
:
onde
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Calculamos as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial:
Passo 5
Vamos ajustar os índices das somas para que todas comecem com
:
Primeiro termo:
Substituindo
:
Segundo termo:
Multiplicando
pela série:
Terceiro termo:
Já está em termos de
.
Passo 6
Agora, alinhamos as potências de
e igualamos os coeficientes a zero:
Para cada
:
simplificando:
Passo 7
Usamos as condições iniciais para encontrar
e
:
Passo 8
Agora, podemos usar a relação de recorrência para encontrar os coeficientes seguintes:
Para
:
Continuamos assim para encontrar mais termos.
Resposta
A solução da equação diferencial é: