Nos itens abaixo, (a) encontre o domínio da função; (b) encontre a imagem da função; © descreva as curvas de nível da função.
l)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos descobrir três coisas:
  1. Domínio da função – quais valores de e podemos usar na função.
  2. Imagem da função – quais valores a função pode realmente assumir.
  3. Curvas de nível da função – como ficam as curvas no plano quando a função tem valores constantes.
Para resolver isso, vamos lembrar alguns conceitos básicos de funções de duas variáveis, domínio e imagem de funções, e entender o que são curvas de nível.

Passo 2

a) Encontrar o domínio da função.
O domínio de uma função é o conjunto de todos os pares para os quais a função está bem definida.
Na nossa função , temos uma fração . Para que essa fração seja válida, o denominador não pode ser zero (porque não dá para dividir por zero).
Então, o domínio da função são todos os números reais de e , exceto quando .

Passo 3

b) Encontrar a imagem da função.
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir.
A função (arco-tangente) sempre retorna valores entre e radianos. Isso acontece porque a tangente de é e de é , e a arco-tangente mapeia qualquer número real nesse intervalo.
Portanto, a imagem da nossa função é .

Passo 4

c) Descrever as curvas de nível da função.
As curvas de nível são as linhas no plano onde a função assume um valor constante. Ou seja, para um valor fixo , temos:
Para resolver isso, aplicamos a tangente dos dois lados da equação:
Multiplicando ambos os lados por , obtemos:
Isso mostra que as curvas de nível são retas que passam pela origem (0,0) e têm inclinação . Cada valor de corresponde a uma reta diferente, dependendo do valor da tangente.

Resposta

(a) Domínio da função: Todos os pares com .
(b) Imagem da função: O intervalo .
© Curvas de nível da função: Retas que passam pela origem, da forma , onde é uma constante.

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    (a)
    R.:
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
i)