Nos itens abaixo, (a) encontre o domínio da função; (b) encontre a imagem da função; © descreva as curvas de nível da função.
l)
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Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos descobrir três coisas:
- Domínio da função – quais valores de
e podemos usar na função. - Imagem da função – quais valores a função pode realmente assumir.
- Curvas de nível da função – como ficam as curvas no plano quando a função tem valores constantes.
Para resolver isso, vamos lembrar alguns conceitos básicos de funções de duas variáveis, domínio e imagem de funções, e entender o que são curvas de nível.
Passo 2
a) Encontrar o domínio da função.
O domínio de uma função é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está bem definida.
Na nossa função
, temos uma fração
. Para que essa fração seja válida, o denominador
não pode ser zero (porque não dá para dividir por zero).
Então, o domínio da função são todos os números reais de
e
, exceto quando
.
Passo 3
b) Encontrar a imagem da função.
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir.
A função
(arco-tangente) sempre retorna valores entre
e
radianos. Isso acontece porque a tangente de
é
e de
é
, e a arco-tangente mapeia qualquer número real nesse intervalo.
Portanto, a imagem da nossa função
é
.
Passo 4
c) Descrever as curvas de nível da função.
As curvas de nível são as linhas no plano onde a função assume um valor constante. Ou seja, para um valor fixo
, temos:
Para resolver isso, aplicamos a tangente dos dois lados da equação:
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos:
Isso mostra que as curvas de nível são retas que passam pela origem (0,0) e têm inclinação
. Cada valor de
corresponde a uma reta diferente, dependendo do valor da tangente.
Resposta
(a) Domínio da função: Todos os pares
com
.
(b) Imagem da função: O intervalo
.
© Curvas de nível da função: Retas que passam pela origem, da forma
, onde
é uma constante.
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(a)
b) Dada a função
e o ponto (1, 1), determine o vetor unitário para o qual a derivada direcional seja máxima e o valor máximo da derivada direcional
3.1 Introdução à Transformada de Laplace
- Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
(a)
R.:
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
i)
i)