1. Utilize o método de variação dos parâmetros, resolva as EDOs:
    (a)
    R.:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem a equação diferencial . Esse tipo de equação é chamada de Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem. Vamos usar o método de variação dos parâmetros para resolver. Para isso, precisamos primeiro encontrar a solução da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é quando o lado direito da equação é zero:

Passo 3

Para resolver a equação homogênea, vamos assumir que a solução tem a forma . Então, derivo para encontrar e :

Passo 4

Substituindo , e na equação homogênea:
Simplificando:

Passo 5

Dividindo ambos os lados por (assumindo e ):
Essa igualdade só é válida para valores específicos de , o que sugere que nossa suposição inicial precisa ser ajustada. Em vez disso, vamos tentar soluções da forma e , onde e são constantes.

Passo 6

Substituindo na equação homogênea:
Então, é uma solução da equação homogênea.
Agora, substituindo :
Substituindo na equação homogênea:
Isso é válido se for uma constante arbitrária. Portanto, também é uma solução da equação homogênea.

Passo 7

Agora que temos a solução geral da equação homogênea:
Precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa . Vamos supor que a solução particular tem a mesma forma do termo não homogêneo, mas como já está na solução homogênea, multiplicamos por para evitar duplicação:
Onde é uma constante a ser determinada.

Passo 8

Calculando as derivadas de :
Substituindo na equação completa:

Passo 9

Para que a igualdade seja válida para todos os valores de , os coeficientes dos termos semelhantes devem ser iguais. Igualando os coeficientes:
Isso só será possível se , o que não nos ajuda. Então, vamos tentar uma forma diferente para . Vamos supor:

Passo 10

Calculando as derivadas de :
Substituindo na equação completa:
Agora, igualando os coeficientes:
Para que isso seja válido, temos:

Passo 11

Com , a solução particular é:

Passo 12

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Simplificando:
Podemos redefinir como uma nova constante , mas vamos deixar assim mesmo para manter clareza.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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