- Utilize o método de variação dos parâmetros, resolva as EDOs:
(a)
R.:
(a)
R.:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem a equação diferencial
. Esse tipo de equação é chamada de Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem. Vamos usar o método de variação dos parâmetros para resolver. Para isso, precisamos primeiro encontrar a solução da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é quando o lado direito da equação é zero:
Passo 3
Para resolver a equação homogênea, vamos assumir que a solução tem a forma
. Então, derivo para encontrar
e
:
Passo 4
Substituindo
,
e
na equação homogênea:
Simplificando:
Passo 5
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
e
):
Essa igualdade só é válida para valores específicos de
, o que sugere que nossa suposição inicial precisa ser ajustada. Em vez disso, vamos tentar soluções da forma
e
, onde
e
são constantes.
Passo 6
Substituindo
na equação homogênea:
Então,
é uma solução da equação homogênea.
Agora, substituindo
:
Substituindo na equação homogênea:
Isso é válido se
for uma constante arbitrária. Portanto,
também é uma solução da equação homogênea.
Passo 7
Agora que temos a solução geral da equação homogênea:
Precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa
. Vamos supor que a solução particular tem a mesma forma do termo não homogêneo, mas como
já está na solução homogênea, multiplicamos por
para evitar duplicação:
Onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 8
Calculando as derivadas de
:
Substituindo na equação completa:
Passo 9
Para que a igualdade seja válida para todos os valores de
, os coeficientes dos termos semelhantes devem ser iguais. Igualando os coeficientes:
Isso só será possível se
, o que não nos ajuda. Então, vamos tentar uma forma diferente para
. Vamos supor:
Passo 10
Calculando as derivadas de
:
Substituindo na equação completa:
Agora, igualando os coeficientes:
Para que isso seja válido, temos:
Passo 11
Com
, a solução particular é:
Passo 12
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Simplificando:
Podemos redefinir
como uma nova constante
, mas vamos deixar assim mesmo para manter clareza.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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, onde
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.
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(a)