(b) Deduza que integral0^pi6 cos (x^2) d x >= 12.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a integral de ² de 0 até é pelo menos . Para resolver isso, vamos trabalhar com cálculo integral e algumas propriedades da função cosseno. Precisaremos entender como a função se comporta nesse intervalo e usar uma estimativa para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função ². Sabemos que o cosseno de qualquer número está entre -1 e 1. Mas, nesse caso, como ² está sempre positivo, ² varia entre 0 e 1 no intervalo considerado.

Passo 3

Pra facilitar, vamos usar a série de Taylor do cosseno, que é uma maneira de expressar funções como somas infinitas de potências. A série de Taylor para cos(u) = 1 - u^22! + u^44! - u^66! + dots é:
cos(x²) = 1 - x^42 + x^824 - dots
Substituindo por ², temos:
²

Passo 4

Para encontrar um limite inferior, vamos considerar apenas os dois primeiros termos dessa série. Ou seja:
cos(x²) >= 1 - x^42 ²
Isso porque os termos seguintes são positivos e tornam a expressão menor.

Passo 5

Agora, vamos integrar essa desigualdade de 0 a integral0^pi6 cos(x²) dx >= integral0^pi6 (1 - x^42) dx :
²

Passo 6

Vamos resolver a integral do lado direito:
integral (1 - x^42) dx = integral 1 , dx - 12 integral x^4 , dx = x - x^510
Avaliado de 0 a [ x - x^510 ]0^pi6 = pi6 - (pi6)^510 :

Passo 7

Vamos calcular os valores:
pi6 approx 0.5236
(pi6)^5 approx 306.01977776 approx 0.003936
0.00393610 = 0.0003936
0.5236 - 0.0003936 approx 0.5232

Resposta

Assim, temos que:
integral0^pi6 cos (x^2) dx >= 0.5232 >= 12

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