(b) Deduza que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a integral de
de 0 até
é pelo menos
. Para resolver isso, vamos trabalhar com cálculo integral e algumas propriedades da função cosseno. Precisaremos entender como a função se comporta nesse intervalo e usar uma estimativa para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na função
. Sabemos que o cosseno de qualquer número está entre -1 e 1. Mas, nesse caso, como
está sempre positivo,
varia entre 0 e 1 no intervalo considerado.
Passo 3
Pra facilitar, vamos usar a série de Taylor do cosseno, que é uma maneira de expressar funções como somas infinitas de potências. A série de Taylor para
é:
Substituindo
por
, temos:
Passo 4
Para encontrar um limite inferior, vamos considerar apenas os dois primeiros termos dessa série. Ou seja:
Isso porque os termos seguintes são positivos e tornam a expressão menor.
Passo 5
Agora, vamos integrar essa desigualdade de 0 a
:
Passo 6
Vamos resolver a integral do lado direito:
Avaliado de 0 a
:
Passo 7
Vamos calcular os valores:
Resposta
Assim, temos que:
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Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
, nos seguintes pontos:
(a)
(a)
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
, nos seguintes pontos:
(b)
(b)
Calcule:
(s)
(s)
Defina precisamente as expressões matemáticas abaixo, falando do domínio de
e de
caso necessário:
A função é contínua em
A função