Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
, nos seguintes pontos:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e equações de retas tangentes. Vou te mostrar passo a passo como fazer isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.
Vamos derivar usando a regra do quociente ou a regra da cadeia. Aqui, fica mais fácil usar a regra da cadeia. Reescrevendo a função:
Agora, aplicando a derivada:
Então, a derivada da função é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor da derivada no ponto
para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto.
Substituindo
na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente no ponto
é
.
Passo 4
Com a inclinação
e o ponto
, podemos usar a fórmula da reta tangente:
Substituindo os valores:
Agora, vamos simplificar essa equação:
Somando
dos dois lados:
Resposta
A equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
é:
Exercícios relacionados
Usando a definição da derivada de uma função num ponto, encontre para
a função
.
Sejam
e
. Determine o domínio, a imagem e a expressão que representa
e
:
a) e
b) e
c) e
d) e
a)
b)
c)
d)
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
, nos seguintes pontos:
(a)
(a)
(b) Deduza que
.