Calcule:
(s) lim x -1^+ 2 x+1x^2+x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x -1^+ 2x+1x^2+x. Esse exercício está na área de Cálculo, especificamente tratando de limites. Para resolver, vamos precisar entender como identificar o comportamento da função quando x se aproxima de -1 pela direita, ou seja, valores maiores que -1.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando x se aproxima de -1. Substituindo x = -1 na expressão:
Numerador: 2(-1) + 1 = -2 + 1 = -1
Denominador: (-1)^2 + (-1) = 1 - 1 = 0
Então, a função está se aproximando de uma forma indeterminada -10. Precisamos entender o que isso significa.

Passo 3

Quando o denominador se aproxima de 0, e o numerador não é zero, o limite pode ser infinito ou menos infinito, dependendo do sinal. Como estamos fazendo o limite quando x se aproxima de -1 pela direita (valores maiores que -1), vamos ver os sinais:
  • Vamos escolher um valor próximo a -1 pela direita, por exemplo, x = -0,9.
  • Numerador: 2(-0,9) + 1 = -1,8 + 1 = -0,8 (negativo)
  • Denominador: (-0,9)^2 + (-0,9) = 0,81 - 0,9 = -0,09 (negativo)
Quando x se aproxima de -1 pela direita, tanto o numerador quanto o denominador são negativos, então o quociente resulta em um valor positivo.

Passo 4

Como o denominador está se aproximando de 0 a partir de valores negativos, o quociente vai crescer positivamente sem limite. Portanto, o limite tende ao infinito positivo.

Resposta

lim x -1^+ 2x+1x^2+x = +infty

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