b) Descreva do item (a) como produto de polinômios irredutíveis sobre

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício! A questão pede para descrever do item (a) como um produto de polinômios irredutíveis sobre . Aqui, estamos trabalhando com álgebra polinomial, especificamente focando na fatoração de polinômios em fatores mais simples que não podem ser mais divididos dentro do conjunto dos polinômios com coeficientes nos números complexos .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é um polinômio irredutível. Um polinômio é considerado irredutível sobre um dado conjunto de números (neste caso, ) se ele não pode ser fatorado em polinômios de grau menor com coeficientes nesse conjunto. Em outras palavras, é como se fosse uma “parte fundamental” que não pode ser dividida mais dentro desse contexto.

Passo 3

Agora, importante lembrar que o conjunto dos números complexos é algebricamente fechado. Isso significa que todo polinômio de grau em pode ser fatorado em polinômios lineares (de primeiro grau). Ou seja, qualquer polinômio pode ser escrito como um produto de termos da forma , onde é uma raiz do polinômio em .

Passo 4

Aplicando esse conhecimento ao nosso exercício, isso implica que qualquer polinômio dado no item (a) pode ser expresso como um produto de fatores lineares. Esses fatores lineares são os polinômios irredutíveis sobre , pois não podem ser mais fatorados dentro desse conjunto.

Passo 5

Então, para descrever como produto de polinômios irredutíveis sobre , basta fatorá-lo em seus fatores lineares correspondentes às suas raízes. Se tiver raízes em , então podemos escrever:
onde é o coeficiente líder de .

Resposta

Portanto, pode ser descrito como o produto de polinômios irredutíveis sobre da seguinte forma:

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