Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função
, no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto
. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma reta tangente. A reta tangente a uma curva em um ponto específico tem a mesma inclinação que a curva naquele ponto. Para encontrar essa inclinação, precisamos calcular a derivada da função
em relação a
, ou seja,
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. Para isso, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia, já que a função é um produto de
e
.
A função pode ser reescrita como:
Passo 4
Aplicando a regra do produto, temos:
Calculando cada parte:
E usando a regra da cadeia para a segunda derivada:
Passo 5
Substituindo as derivadas encontradas de volta na expressão de
:
Simplificando:
Podemos colocar tudo sobre um denominador comum:
Passo 6
Agora, vamos avaliar a derivada no ponto
para encontrar a inclinação da reta tangente naquele ponto.
Substituindo
na expressão de
:
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 7
Com a inclinação
e sabendo que a reta tangente passa pelo ponto
, podemos usar a fórmula da reta:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação da reta tangente é
.
Exercícios relacionados
Dados
, se
, prove que
.
Prove que
para todo
e
.
b) Descreva
do item (a) como produto de polinômios irredutíveis sobre
Encontre a derivada das funções: