Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função , no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma reta tangente. A reta tangente a uma curva em um ponto específico tem a mesma inclinação que a curva naquele ponto. Para encontrar essa inclinação, precisamos calcular a derivada da função em relação a , ou seja, .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . Para isso, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia, já que a função é um produto de e .
A função pode ser reescrita como:

Passo 4

Aplicando a regra do produto, temos:
Calculando cada parte:
E usando a regra da cadeia para a segunda derivada:

Passo 5

Substituindo as derivadas encontradas de volta na expressão de :
Simplificando:
Podemos colocar tudo sobre um denominador comum:

Passo 6

Agora, vamos avaliar a derivada no ponto para encontrar a inclinação da reta tangente naquele ponto.
Substituindo na expressão de :
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 7

Com a inclinação e sabendo que a reta tangente passa pelo ponto , podemos usar a fórmula da reta:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação da reta tangente é .

Exercícios relacionados

Dados , se , prove que .
Prove que
para todo e .
b) Descreva do item (a) como produto de polinômios irredutíveis sobre
Encontre a derivada das funções: