Dados , se , prove que .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois números reais, e , e sabemos que . O objetivo é provar que, para essa equação ser verdadeira, necessariamente e devem ser iguais a zero. Vamos usar conceitos de álgebra, especificamente propriedades dos números reais e dos quadrados.

Passo 2

Vamos lembrar uma propriedade importante dos números reais: o quadrado de qualquer número real é sempre maior ou igual a zero. Ou seja, para qualquer número real , temos . Isso significa que e são ambos maiores ou iguais a zero.

Passo 3

Agora, somando e , temos:
Então, a soma dos quadrados também é maior ou igual a zero.

Passo 4

A equação dada é . Sabemos que a soma dos quadrados é igual a zero apenas se cada quadrado for zero individualmente, já que não pode haver números negativos envolvidos nesse contexto.

Passo 5

Portanto, para que seja verdadeira, precisamos que:
Isso ocorre somente quando e .

Resposta

Portanto, se , então necessariamente e .

Exercícios relacionados

Prove que
para todo e .
Prove as seguintes unicidades: Se , então, .
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função , no ponto .
b) Descreva do item (a) como produto de polinômios irredutíveis sobre