Dados
, se
, prove que
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois números reais,
e
, e sabemos que
. O objetivo é provar que, para essa equação ser verdadeira, necessariamente
e
devem ser iguais a zero. Vamos usar conceitos de álgebra, especificamente propriedades dos números reais e dos quadrados.
Passo 2
Vamos lembrar uma propriedade importante dos números reais: o quadrado de qualquer número real é sempre maior ou igual a zero. Ou seja, para qualquer número real
, temos
. Isso significa que
e
são ambos maiores ou iguais a zero.
Passo 3
Agora, somando
e
, temos:
Então, a soma dos quadrados também é maior ou igual a zero.
Passo 4
A equação dada é
. Sabemos que a soma dos quadrados é igual a zero apenas se cada quadrado for zero individualmente, já que não pode haver números negativos envolvidos nesse contexto.
Passo 5
Portanto, para que
seja verdadeira, precisamos que:
Isso ocorre somente quando
e
.
Resposta
Portanto, se
, então necessariamente
e
.
Exercícios relacionados
Prove que
para todo
e
.
Prove as seguintes unicidades: Se
, então,
.
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função
, no ponto
.
b) Descreva
do item (a) como produto de polinômios irredutíveis sobre