(b) Descreva em palavras como o gráfico da função está relacionado como o gráfico de para valores positivos de .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem duas funções:
  • f: que provavelmente é uma função de uma variável (como ).
  • g(x, y) = e{-a(x{2}+y^{2})}: uma função de duas variáveis.
O conteúdo aqui envolve funções exponenciais e gráficos de funções de uma e duas variáveis. Para resolver, vamos precisar saber como passar de uma função de uma variável para uma de duas variáveis e como isso afeta o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o gráfico de uma função de uma variável, como , é uma curva no plano cartesiano (x, f(x)). Agora, quando temos uma função de duas variáveis, como , o gráfico dela é uma superfície no espaço tridimensional (x, y, g(x, y)).

Passo 3

A função é uma extensão da função exponencial para duas variáveis. Note que ela depende de x² + y², que é a distância ao quadrado do ponto (x, y) à origem.

Passo 4

Para valores positivos de , o termo faz com que diminua à medida que nos afastamos da origem. Isso significa que o gráfico de terá seu valor máximo na origem e vai decrescer simetricamente em todas as direções.

Passo 5

Comparando com o gráfico de , que é uma função de uma variável, o gráfico de basicamente “gira” o gráfico de ao redor do eixo y. Ou seja, se considerarmos , então é como ter em todas as direções ao redor do eixo y, formando uma superfície em forma de “colina” ou “pico” simétrico.

Resposta

O gráfico da função para valores positivos de é uma superfície simétrica em torno da origem, que representa o gráfico da função estendido para duas dimensões. Basicamente, o gráfico de é como o gráfico de girado em todas as direções ao redor do eixo central, formando uma “colina” arredondada onde o ponto mais alto está na origem e decresce igualmente em todas as direções.

Exercícios relacionados

Seja .
Use um recurso gráfico para gerar a curva de nível que passa pelo ponto .
Seja . Determine uma equação da superfície de nível que passa pelo ponto
(a)
Calcule a integral de superfície:
(d) , s é a parte do cone que está entre os planos
Calcule