(b) Descreva em palavras como o gráfico da função
está relacionado como o gráfico de
para valores positivos de
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem duas funções:
- f: que provavelmente é uma função de uma variável (como
). - g(x, y) = e{-a(x{2}+y^{2})}: uma função de duas variáveis.
O conteúdo aqui envolve funções exponenciais e gráficos de funções de uma e duas variáveis. Para resolver, vamos precisar saber como passar de uma função de uma variável para uma de duas variáveis e como isso afeta o gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o gráfico de uma função de uma variável, como
, é uma curva no plano cartesiano (x, f(x)). Agora, quando temos uma função de duas variáveis, como
, o gráfico dela é uma superfície no espaço tridimensional (x, y, g(x, y)).
Passo 3
A função
é uma extensão da função exponencial para duas variáveis. Note que ela depende de x² + y², que é a distância ao quadrado do ponto (x, y) à origem.
Passo 4
Para valores positivos de
, o termo
faz com que
diminua à medida que nos afastamos da origem. Isso significa que o gráfico de
terá seu valor máximo na origem e vai decrescer simetricamente em todas as direções.
Passo 5
Comparando com o gráfico de
, que é uma função de uma variável, o gráfico de
basicamente “gira” o gráfico de
ao redor do eixo y. Ou seja, se considerarmos
, então
é como ter
em todas as direções ao redor do eixo y, formando uma superfície em forma de “colina” ou “pico” simétrico.
Resposta
O gráfico da função
para valores positivos de
é uma superfície simétrica em torno da origem, que representa o gráfico da função
estendido para duas dimensões. Basicamente, o gráfico de
é como o gráfico de
girado em todas as direções ao redor do eixo central, formando uma “colina” arredondada onde o ponto mais alto está na origem e decresce igualmente em todas as direções.
Exercícios relacionados
Seja
.
Use um recurso gráfico para gerar a curva de nível que passa pelo ponto .
Use um recurso gráfico para gerar a curva de nível que passa pelo ponto
Seja
. Determine uma equação da superfície de nível que passa pelo ponto
(a)
(a)
Calcule a integral de superfície:
(d) , s é a parte do cone
que está entre os planos
(d)
Calcule