Calcule a integral de superfície:
(d)
, s é a parte do cone
que está entre os planos
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! A questão pede para calcular a integral
, onde
é a parte do cone
entre os planos
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais de superfície e parametrização de superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a superfície do cone. Sabemos que o cone
pode ser descrito em coordenadas cilíndricas. Vamos definir:
Aqui,
é a distância do ponto à origem no plano
, e
é o ângulo em relação ao eixo
.
Passo 3
Com a parametrização, podemos expressar a função que vamos integrar em termos de
e
. A função
se torna:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o elemento de área
na parametrização escolhida. Para uma superfície parametrizada por
e
, o elemento de área no cone é dado por:
Calculando as derivadas:
Então,
Passo 5
Agora, substituímos tudo na integral de superfície:
Podemos separar as integrais de
e
:
Passo 6
Calculando a integral em
:
Calculando a integral em
:
(Usamos a identidade
e a integral de
em
a
é zero.)
Passo 7
Agora, juntando tudo:
Simplificando, multiplicando numerador e denominador por 1:
Resposta
Exercícios relacionados
(b) Descreva em palavras como o gráfico da função
está relacionado como o gráfico de
para valores positivos de
.
Seja
.
Use um recurso gráfico para gerar a curva de nível que passa pelo ponto .
Use um recurso gráfico para gerar a curva de nível que passa pelo ponto
Calcule
Calcule o volume do sólido pela rotação da região delimitada por
ao redor do
.