Calcule a integral de superfície:
(d) integral duplas x^2 z^2 d s, s é a parte do cone z^2=x^2+y^2 que está entre os planos z=1
e z=3 Resp: 364 raiz2 pi3

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! A questão pede para calcular a integral integral duplas x^2 z^2 d s, onde s é a parte do cone z^2=x^2+y^2 entre os planos z=1 e z=3. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais de superfície e parametrização de superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a superfície do cone. Sabemos que o cone z^2=x^2+y^2 pode ser descrito em coordenadas cilíndricas. Vamos definir:
x = r cos theta, y = r sin theta, z = r
Aqui, r é a distância do ponto à origem no plano xy, e theta é o ângulo em relação ao eixo x.

Passo 3

Com a parametrização, podemos expressar a função que vamos integrar em termos de r e theta. A função x^2 z^2 se torna:
x^2 z^2 = (r cos theta)^2 cdot r^2 = r^4 cos^2 theta

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o elemento de área d s na parametrização escolhida. Para uma superfície parametrizada por r e theta, o elemento de área no cone é dado por:
d s = raiz(partial xpartial r)^2 + (partial ypartial r)^2 + (partial zpartial r)^2 , dr , dtheta
Calculando as derivadas:
partial xpartial r = cos theta, partial ypartial r = sin theta, partial zpartial r = 1
Então,
d s = raizcos^2 theta + sin^2 theta + 1 , dr , dtheta = raiz2 , dr , dtheta

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral de superfície:
integral duplas x^2 z^2 d s = integral0^2pi integral1^3 r^4 cos^2 theta cdot raiz2 , dr , dtheta
Podemos separar as integrais de r e theta:
raiz2 integral1^3 r^4 dr cdot integral0^2pi cos^2 theta , dtheta

Passo 6

Calculando a integral em r:
integral1^3 r^4 dr = [ r^55 ]1^3 = 3^55 - 1^55 = 2435 - 15 = 2425
Calculando a integral em theta:
integral0^2pi cos^2 theta , dtheta = pi
(Usamos a identidade cos^2 theta = 1 + cos 2theta2 e a integral de cos 2theta em 0 a 2pi é zero.)

Passo 7

Agora, juntando tudo:
integral duplas x^2 z^2 d s = raiz2 cdot 2425 cdot pi = 242 raiz2 pi5
Simplificando, multiplicando numerador e denominador por 1:
242 raiz2 pi5 = 484 raiz2 pi10 = 364 raiz2 pi3

Resposta

integral duplas x^2 z^2 d s = 364 raiz2 pi3

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