Calcule a integral de superfície:
(d) , s é a parte do cone que está entre os planos

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! A questão pede para calcular a integral , onde é a parte do cone entre os planos e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais de superfície e parametrização de superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a superfície do cone. Sabemos que o cone pode ser descrito em coordenadas cilíndricas. Vamos definir:
Aqui, é a distância do ponto à origem no plano , e é o ângulo em relação ao eixo .

Passo 3

Com a parametrização, podemos expressar a função que vamos integrar em termos de e . A função se torna:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o elemento de área na parametrização escolhida. Para uma superfície parametrizada por e , o elemento de área no cone é dado por:
Calculando as derivadas:
Então,

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral de superfície:
Podemos separar as integrais de e :

Passo 6

Calculando a integral em :
Calculando a integral em :
(Usamos a identidade e a integral de em a é zero.)

Passo 7

Agora, juntando tudo:
Simplificando, multiplicando numerador e denominador por 1:

Resposta

Exercícios relacionados

(b) Descreva em palavras como o gráfico da função está relacionado como o gráfico de para valores positivos de .
Seja .
Use um recurso gráfico para gerar a curva de nível que passa pelo ponto .
Calcule
Calcule o volume do sólido pela rotação da região delimitada por ao redor do .