Seja
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Use um recurso gráfico para gerar a curva de nível que passa pelo ponto
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Use um recurso gráfico para gerar a curva de nível que passa pelo ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar um recurso gráfico para desenhar a curva de nível que passa pelo ponto
para a função
. Isso significa que precisamos encontrar uma curva no plano
onde a função
mantém um valor constante. Para isso, vamos precisar entender o que é uma curva de nível e como identificar o valor constante que vamos usar.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir qual é o valor da função
no ponto
. Isso vai nos dar o valor constante da nossa curva de nível. Então, substituímos
e
por 2 na função:
Então, o valor constante é 4.
Passo 3
Agora que sabemos que a curva de nível corresponde a
, vamos escrever isso matematicamente:
Nossa tarefa é resolver essa equação para obter a relação entre
e
na curva de nível.
Passo 4
Vamos resolver a equação para simplificar e encontrar a relação direta entre
e
. Primeiro, dividimos ambos os lados por 2:
Passo 5
Para eliminar a raiz quadrada, elevamos ambos os lados ao quadrado:
Então, a equação simplificada da curva de nível é
.
Passo 6
Agora que temos a equação
, podemos descrever a curva de nível. Essa equação representa uma hipérbole no plano
. Para desenhar essa curva, podemos escolher vários valores de
e encontrar os correspondentes valores de
que satisfazem a equação.
Por exemplo:
- Se
, então . - Se
, então . - Se
, então .
E assim por diante. Ao plotar esses pontos e conectar, teremos a hipérbole que representa a curva de nível onde
.
Resposta
A curva de nível que passa pelo ponto
para a função
é dada pela equação
, que representa uma hipérbole no plano
.