Seja
. Determine uma equação da superfície de nível que passa pelo ponto
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função de três variáveis,
, e precisamos encontrar a equação da superfície de nível que passa pelo ponto
. Área de estudo aqui é cálculo multivariável, especificamente superfícies de nível. Pra resolver isso, vamos precisar calcular o valor da função no ponto dado e usar esse valor para montar a equação da superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor da função
no ponto
. Isso significa substituir
,
e
na função:
Então, o valor da função no ponto é 3.
Passo 3
Agora, uma superfície de nível é definida por todos os pontos
para os quais a função
é igual a um valor constante, que nesse caso é 3. A equação geral da superfície de nível é:
Onde
é o valor constante. No nosso caso,
.
Passo 4
Substituindo
e
na equação da superfície de nível, temos:
Agora, vamos simplificar essa equação subtraindo 3 de ambos os lados:
Então, a equação da superfície de nível simplificada é
.
Resposta
A equação da superfície de nível que passa pelo ponto
é: