Seja . Determine uma equação da superfície de nível que passa pelo ponto
(a)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função de três variáveis, , e precisamos encontrar a equação da superfície de nível que passa pelo ponto . Área de estudo aqui é cálculo multivariável, especificamente superfícies de nível. Pra resolver isso, vamos precisar calcular o valor da função no ponto dado e usar esse valor para montar a equação da superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto . Isso significa substituir , e na função:
Então, o valor da função no ponto é 3.

Passo 3

Agora, uma superfície de nível é definida por todos os pontos para os quais a função é igual a um valor constante, que nesse caso é 3. A equação geral da superfície de nível é:
Onde é o valor constante. No nosso caso, .

Passo 4

Substituindo e na equação da superfície de nível, temos:
Agora, vamos simplificar essa equação subtraindo 3 de ambos os lados:
Então, a equação da superfície de nível simplificada é .

Resposta

A equação da superfície de nível que passa pelo ponto é:

Exercícios relacionados

Encontre a projeção do vetor a sobre b.
(a) e
(b) e
© e
Texto Encontre algumas aplicações práticas de funções de duas e três variáveis e discuta como considerações físicas afetam o domínio dessas funções.
Seja .
Use um recurso gráfico para gerar a curva de nível que passa pelo ponto .
(b) Descreva em palavras como o gráfico da função está relacionado como o gráfico de para valores positivos de .