(b) O determinante que aparece em ( ) chama-se um determinante de Vandermonde. Mostre que é nulo se e só se , para algum par de índices com .
Passo 1
Beleza, então o enunciado pede pra gente mostrar que o determinante de Vandermonde é nulo se e somente se dois dos números são iguais. Vamos usar conceitos de determinantes e especificamente das propriedades do determinante de Vandermonde para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o determinante de Vandermonde. Ele é um tipo especial de determinante de uma matriz onde cada linha é composta pelas potências de um número . Matemáticamente, para números , a matriz fica assim:
O determinante dessa matriz é dado por:
Passo 3
Agora, vamos analisar quando esse produto é igual a zero. Um produto de vários termos é zero se pelo menos um dos termos for zero. Então, se existir pelo menos um par tal que , ou seja, .
Passo 4
Por outro lado, se todos os forem diferentes, então cada termo será diferente de zero, fazendo com que o produto todo seja diferente de zero. Portanto, somente quando pelo menos dois são iguais.
Resposta
O determinante de Vandermonde é nulo se e somente se existe pelo menos um par de índices e com tal que .