Sejam duas funções em e suponha que nunca se anule em . Prove que se em , então e são linearmente dependentes em sug. Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente provar que, se o Wronskiano das funções e é sempre zero em um intervalo , então essas funções são linearmente dependentes nesse intervalo. Além disso, temos que calcular a derivada de . Para resolver isso, vamos precisar conhecer conceitos de cálculo diferencial, como Wronskiano, dependência linear de funções e regras de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Wronskiano. O Wronskiano de duas funções e é definido por:
Ele nos ajuda a determinar se as funções são linearmente independentes ou dependentes.

Passo 3

O enunciado diz que em . Isso significa que para todo em , o Wronskiano é zero:

Passo 4

Vamos rearranjar a equação acima para facilitar a análise:
Dividindo ambos os lados por (lembrando que no intervalo ):

Passo 5

Agora, isso sugere que a razão tem uma derivada constante ou se comporta de uma maneira específica. De fato, podemos escrever:
Então, a derivada de é zero, o que significa que é constante.

Passo 6

Se , onde é uma constante, então:
Isso mostra que é um múltiplo de , ou seja, e são linearmente dependentes no espaço .

Passo 7

Agora, vamos calcular a derivada de :
Como vimos anteriormente, isso porque , então a derivada é zero.

Resposta

As funções e são linearmente dependentes em e a derivada de é zero.

Exercícios relacionados

(b) O determinante que aparece em ( ) chama-se um determinante de Vandermonde. Mostre que é nulo se e só se , para algum par de índices com .
Mostre que são linearmente independentes em se e só se são reais e distintos.
Determine o valor lógico de cada uma das seguintes proposições compostas:
f) e
Decida - justificando - se cada uma das sentenças a seguir é uma proposição. Caso afirmativo, determine seu valor lógico.
e)