Sejam
duas funções em
e suponha que
nunca se anule em
. Prove que se
em
, então
e
são linearmente dependentes em
sug. Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente provar que, se o Wronskiano das funções
e
é sempre zero em um intervalo
, então essas funções são linearmente dependentes nesse intervalo. Além disso, temos que calcular a derivada de
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer conceitos de cálculo diferencial, como Wronskiano, dependência linear de funções e regras de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Wronskiano. O Wronskiano de duas funções
e
é definido por:
Ele nos ajuda a determinar se as funções são linearmente independentes ou dependentes.
Passo 3
O enunciado diz que
em
. Isso significa que para todo
em
, o Wronskiano é zero:
Passo 4
Vamos rearranjar a equação acima para facilitar a análise:
Dividindo ambos os lados por
(lembrando que
no intervalo
):
Passo 5
Agora, isso sugere que a razão
tem uma derivada constante ou se comporta de uma maneira específica. De fato, podemos escrever:
Então, a derivada de
é zero, o que significa que
é constante.
Passo 6
Se
, onde
é uma constante, então:
Isso mostra que
é um múltiplo de
, ou seja,
e
são linearmente dependentes no espaço
.
Passo 7
Agora, vamos calcular a derivada de
:
Como vimos anteriormente, isso porque
, então a derivada é zero.
Resposta
As funções
e
são linearmente dependentes em
e a derivada de
é zero.
Exercícios relacionados
(b) O determinante que aparece em (
) chama-se um determinante de Vandermonde. Mostre que é nulo se e só se
, para algum par de índices
com
.
Mostre que
são linearmente independentes em
se e só se
são reais e distintos.
Determine o valor lógico de cada uma das seguintes proposições compostas:
f) e
f)
Decida - justificando - se cada uma das sentenças a seguir é uma proposição. Caso afirmativo, determine seu valor lógico.
e)
e)