Sejam f, g duas funções em C^1(I) e suponha que g nunca se anule em I. Prove que se W[f(x), g(x)] = 0 em I, então f e g são linearmente dependentes em C^1(I) sug. Calcule d/dx (f(x) / g(x)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente provar que, se o Wronskiano das funções e é sempre zero em um intervalo , então essas funções são linearmente dependentes nesse intervalo. Além disso, temos que calcular a derivada de . Para resolver isso, vamos precisar conhecer conceitos de cálculo diferencial, como Wronskiano, dependência linear de funções e regras de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Wronskiano. O Wronskiano de duas funções e é definido por:
Ele nos ajuda a determinar se as funções são linearmente independentes ou dependentes.

Passo 3

O enunciado diz que em . Isso significa que para todo em , o Wronskiano é zero:

Passo 4

Vamos rearranjar a equação acima para facilitar a análise:
Dividindo ambos os lados por (lembrando que no intervalo ):

Passo 5

Agora, isso sugere que a razão tem uma derivada constante ou se comporta de uma maneira específica. De fato, podemos escrever:
Então, a derivada de é zero, o que significa que é constante.

Passo 6

Se , onde é uma constante, então:
Isso mostra que é um múltiplo de , ou seja, e são linearmente dependentes no espaço .

Passo 7

Agora, vamos calcular a derivada de :
Como vimos anteriormente, isso porque , então a derivada é zero.

Resposta

As funções e são linearmente dependentes em e a derivada de é zero.

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