Mostre que são linearmente independentes em se e só se são reais e distintos.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que as funções , e são linearmente independentes no conjunto se e somente se os expoentes , e são reais e distintos. Para isso, vamos precisar entender o que significa linearmente independentes no contexto de funções e utilizar o conceito de Wronskiano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que funções são linearmente independentes. Em termos simples, um conjunto de funções é linearmente independente se nenhuma função do conjunto pode ser escrita como uma combinação linear das outras. Ou seja, se a única solução para a equação for todas no intervalo considerado é .

Passo 3

Para verificar a independência linear de funções, usamos o Wronskiano, que é uma ferramenta eficiente para esse propósito. O Wronskiano de três funções , e é definido pela matriz formada pelas funções e suas primeiras e segundas derivadas:
Se o Wronskiano for diferente de zero em algum ponto do intervalo, as funções são linearmente independentes nesse intervalo.

Passo 4

Vamos calcular o Wronskiano das funções , e . Primeiro, encontramos as derivadas:
Agora, montamos a matriz do Wronskiano:

Passo 5

Para simplificar o cálculo do determinante, vamos fatorar , e de cada coluna:
Podemos simplificar ainda mais removendo de cada coluna:
Calculando esse determinante, percebemos que ele será diferente de zero se e somente se , e forem distintos.

Resposta

Portanto, as funções , e são linearmente independentes em se e somente se os expoentes , e são reais e distintos.

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