Suponha que pertença a e não é a função zero. Calculando o Wroskiano mostre que e são linearmente independente em

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado fala sobre funções contínuas e diferenciáveis no intervalo . A gente precisa mostrar que as funções e não são múltiplas uma da outra, ou seja, são linearmente independentes. Para isso, vamos calcular o Wronskiano dessas duas funções, que ajuda a verificar essa independência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. Para duas funções e , o Wronskiano é dado por:
Ele é útil porque, se o Wronskiano não for zero em algum ponto do intervalo, as funções são linearmente independentes.

Passo 3

Vamos aplicar isso nas nossas funções. Temos e . Precisamos calcular as derivadas delas:

Passo 4

Agora, montamos o determinante do Wronskiano:
Vamos calcular:
Simplificando, os termos se cancelam:

Passo 5

O próximo passo é analisar o que significa esse Wronskiano. Como não é a função zero, temos que para todo no intervalo . Portanto, em .

Resposta

Como o Wronskiano é diferente de zero em , concluímos que as funções e são linearmente independentes em .

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Calculando o Wronskiano, mostre que cada um dos seguintes conjuntos de funções é linearmente independentes em em qualquer intervalo
Calculando o Wronskiano, mostre que cada um dos seguintes conjuntos de funções é linearmente independentes em em qualquer intervalo
Mostre que são linearmente independentes em se e só se são reais e distintos.
(b) O determinante que aparece em ( ) chama-se um determinante de Vandermonde. Mostre que é nulo se e só se , para algum par de índices com .