Suponha que f pertença a C^1([a, b]) e não é a função zero. Calculando o Wroskiano mostre que f(x) e x f(x) são linearmente independente em C^1([a, b])

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado fala sobre funções contínuas e diferenciáveis no intervalo . A gente precisa mostrar que as funções e não são múltiplas uma da outra, ou seja, são linearmente independentes. Para isso, vamos calcular o Wronskiano dessas duas funções, que ajuda a verificar essa independência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. Para duas funções e , o Wronskiano é dado por:
Ele é útil porque, se o Wronskiano não for zero em algum ponto do intervalo, as funções são linearmente independentes.

Passo 3

Vamos aplicar isso nas nossas funções. Temos e . Precisamos calcular as derivadas delas:

Passo 4

Agora, montamos o determinante do Wronskiano:
Vamos calcular:
Simplificando, os termos se cancelam:

Passo 5

O próximo passo é analisar o que significa esse Wronskiano. Como não é a função zero, temos que para todo no intervalo . Portanto, em .

Resposta

Como o Wronskiano é diferente de zero em , concluímos que as funções e são linearmente independentes em .

Exercícios relacionados