Suponha que pertença a e não é a função zero. Calculando o Wroskiano mostre que e são linearmente independente em
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado fala sobre funções contínuas e diferenciáveis no intervalo . A gente precisa mostrar que as funções e não são múltiplas uma da outra, ou seja, são linearmente independentes. Para isso, vamos calcular o Wronskiano dessas duas funções, que ajuda a verificar essa independência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. Para duas funções e , o Wronskiano é dado por:
Ele é útil porque, se o Wronskiano não for zero em algum ponto do intervalo, as funções são linearmente independentes.
Passo 3
Vamos aplicar isso nas nossas funções. Temos e . Precisamos calcular as derivadas delas:
Passo 4
Agora, montamos o determinante do Wronskiano:
Vamos calcular:
Simplificando, os termos se cancelam:
Passo 5
O próximo passo é analisar o que significa esse Wronskiano. Como não é a função zero, temos que para todo no intervalo . Portanto, em .
Resposta
Como o Wronskiano é diferente de zero em , concluímos que as funções e são linearmente independentes em .