(b) Determinar o momento de inércia no entorno do eixo y e calcular a energia cinética. Determinar a percentagem da energia cinética total que está associada à rotação e a translação, quando o corpo que rola sem escorregar è: (a) uma esfera; (b) um cilindro uniforme e © um aro circular.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos determinar o momento de inércia em torno do eixo y e calcular a energia cinética de um corpo que está rolando sem escorregar. Além disso, precisamos descobrir que porcentagem da energia cinética total está associada à rotação e à translação. Vamos focar nos três casos: uma esfera, um cilindro uniforme e um aro circular. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as fórmulas do momento de inércia para cada forma e a relação entre rotação e translação quando o corpo rola sem escorregar.
Passo 2
Vamos começar determinando o momento de inércia em torno do eixo y para cada corpo.
-
Esfera sólida: O momento de inércia em torno do eixo que passa pelo centro é
. -
Cilindro uniforme: O momento de inércia é
. -
Aro circular: O momento de inércia é
.
Aqui,
é a massa do objeto e
é o raio.
Passo 3
Agora, vamos calcular a energia cinética total do corpo rolando sem escorregar, que consiste em duas partes: energia cinética de translação (movimento do centro de massa) e energia cinética de rotação em torno do eixo y.
A energia cinética total é dada por:
Como o corpo rola sem escorregar, a velocidade de translação
e a velocidade angular
estão relacionadas pela condição
.
Passo 4
Substituindo
na expressão da energia cinética total:
Passo 5
Agora, substituímos o momento de inércia
de cada corpo na expressão acima e calculamos a energia cinética total, a energia de translação e a energia de rotação para cada caso.
(a) Esfera sólida
Substituindo na equação da energia total:
A energia de translação é
e a de rotação é
.
Para encontrar a porcentagem:
- Translação:
- Rotação:
Passo 6
(b) Cilindro uniforme
Substituindo na energia total:
A energia de translação é
e a de rotação é
.
Porcentagens:
- Translação:
- Rotação:
Passo 7
© Aro circular
Substituindo na energia total:
A energia de translação é
e a de rotação é
.
Porcentagens:
- Translação:
- Rotação:
Resposta
As porcentagens da energia cinética total para cada corpo são:
- Esfera sólida: 71,43% translação e 28,57% rotação.
- Cilindro uniforme: 66,67% translação e 33,33% rotação.
- Aro circular: 50% translação e 50% rotação.
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