(b) Determinar o momento de inércia no entorno do eixo y e calcular a energia cinética. Determinar a percentagem da energia cinética total que está associada à rotação e a translação, quando o corpo que rola sem escorregar è: (a) uma esfera; (b) um cilindro uniforme e © um aro circular.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos determinar o momento de inércia em torno do eixo y e calcular a energia cinética de um corpo que está rolando sem escorregar. Além disso, precisamos descobrir que porcentagem da energia cinética total está associada à rotação e à translação. Vamos focar nos três casos: uma esfera, um cilindro uniforme e um aro circular. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as fórmulas do momento de inércia para cada forma e a relação entre rotação e translação quando o corpo rola sem escorregar.

Passo 2

Vamos começar determinando o momento de inércia em torno do eixo y para cada corpo.
  • Esfera sólida: O momento de inércia em torno do eixo que passa pelo centro é .
  • Cilindro uniforme: O momento de inércia é .
  • Aro circular: O momento de inércia é .
Aqui, é a massa do objeto e é o raio.

Passo 3

Agora, vamos calcular a energia cinética total do corpo rolando sem escorregar, que consiste em duas partes: energia cinética de translação (movimento do centro de massa) e energia cinética de rotação em torno do eixo y.
A energia cinética total é dada por:
Etotal = Etranslação + Erotação = 12 m v^2 + 12 I omega^2 çãçã
Como o corpo rola sem escorregar, a velocidade de translação e a velocidade angular estão relacionadas pela condição .

Passo 4

Substituindo Etotal = 12 m v^2 + 12 I ( vr )^2 = 12 m v^2 + 12 Ir^2 v^2 = 12 v^2 ( m + Ir^2 ) na expressão da energia cinética total:

Passo 5

Agora, substituímos o momento de inércia Etotal = 12 v^2 ( m + 25 m r^2r^2 ) = 12 v^2 ( m + 25 m ) = 12 v^2 ( 75 m ) = 710 m v^2 de cada corpo na expressão acima e calculamos a energia cinética total, a energia de translação e a energia de rotação para cada caso.

(a) Esfera sólida

12 m v^2710 m v^2 times 100% = 57 times 100% approx 71,43%
Substituindo na equação da energia total:
15 m v^2710 m v^2 times 100% = 27 times 100% approx 28,57%
A energia de translação é e a de rotação é .
Para encontrar a porcentagem:
  • Translação:
  • Rotação:

Passo 6

(b) Cilindro uniforme

Etotal = 12 v^2 ( m + 12 m r^2r^2 ) = 12 v^2 ( m + 12 m ) = 12 v^2 ( 32 m ) = 34 m v^2
Substituindo na energia total:
12 m v^234 m v^2 times 100% = 23 times 100% approx 66,67%
A energia de translação é 14 m v^234 m v^2 times 100% = 13 times 100% approx 33,33% e a de rotação é .
Porcentagens:
  • Translação:
  • Rotação:

Passo 7

© Aro circular

Etotal = 12 v^2 ( m + m r^2r^2 ) = 12 v^2 ( m + m ) = 12 v^2 (2 m) = m v^2
Substituindo na energia total:
12 m v^2m v^2 times 100% = 50%
A energia de translação é 12 m v^2m v^2 times 100% = 50% e a de rotação é .
Porcentagens:
  • Translação:
  • Rotação:

Resposta

As porcentagens da energia cinética total para cada corpo são:
  • Esfera sólida: 71,43% translação e 28,57% rotação.
  • Cilindro uniforme: 66,67% translação e 33,33% rotação.
  • Aro circular: 50% translação e 50% rotação.

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