Um corpo de 4 kg está sobre um mesa horizontal sem atrito, mediante um fio, que passa por uma polia sem atrito, está amarrado a ele outro corpo de massa 2 kg pendurado na vertical. A polia é um cilindro de massa 1 kg e raio de 4 cm . (a) Qual é o torque externo resultante que atua sobre o sistema em relação ao centro da polia?. (b) Qual é o momento angular total do sistema em relação ao centro da polia quando as massas deslocam-se com velocidade escalar
enquanto a polia gira com velocidade angular
. © Determinar a aceleração dos dois corpos derivando o resultado obtido para L na parte (b) e igualando
ao torque resultante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um sistema com duas massas e uma polia. A matéria envolvida aqui é dinâmica rotacional, que estuda como objetos giram quando forças e torques atuam sobre eles. Para resolver, vamos precisar entender conceitos como torque, momento de inércia e momento angular. Vamos por partes!
Passo 2
Parte (a): Encontrar o torque externo resultante em relação ao centro da polia.
Primeiro, vamos identificar as forças que causam torque na polia. Temos duas forças puxando a corda: uma de cada massa. A massa de 2 kg está pendurada e exerce uma força para baixo devido à gravidade, que cria torque na polia.
O torque (
) é dado por:
onde:
-
é a força aplicada, -
é o raio da polia.
A força
aqui é o peso da massa de 2 kg:
O raio
da polia é 4 cm, que precisamos converter para metros:
Então, o torque é:
Passo 3
Parte (b): Encontrar o momento angular total do sistema quando as massas se movem com velocidade
e a polia gira com velocidade angular
.
O momento angular (
) é uma medida de quão difícil é parar um objeto em rotação. Para o nosso sistema, temos duas contribuições:
- O momento angular da polia.
- O momento angular das massas em movimento.
Primeiro, calculamos o momento angular da polia. A polia é um cilindro, e o momento de inércia (
) de um cilindro em relação ao seu eixo é:
onde
e
:
Agora, o momento angular da polia:
Para as massas:
- A massa na mesa (4 kg) está se movendo linearmente, mas também tem momento angular devido à rotação da polia. Porém, como está na mesa sem atrito, seu momento angular é zero em relação ao eixo da polia.
- A massa pendurada (2 kg) está se movendo com velocidade
, então seu momento angular é:
Somando ambos:
Passo 4
Parte ©: Determinar a aceleração dos dois corpos derivando o momento angular total e igualando
ao torque resultante.
Sabemos que:
Da parte (b), temos:
Então, derivando em relação ao tempo:
Onde
é a aceleração linear das massas.
Igualando ao torque da parte (a):
Resolvendo para
:
Resposta
(a) O torque externo resultante é de 0,784 N·m.
(b) O momento angular total do sistema é 0,10 kg·m·v.
© A aceleração dos dois corpos é de 7,84 m/s².
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