Um corpo de 4 kg está sobre um mesa horizontal sem atrito, mediante um fio, que passa por uma polia sem atrito, está amarrado a ele outro corpo de massa 2 kg pendurado na vertical. A polia é um cilindro de massa 1 kg e raio de 4 cm . (a) Qual é o torque externo resultante que atua sobre o sistema em relação ao centro da polia?. (b) Qual é o momento angular total do sistema em relação ao centro da polia quando as massas deslocam-se com velocidade escalar v enquanto a polia gira com velocidade angular omega=v / r. © Determinar a aceleração dos dois corpos derivando o resultado obtido para L na parte (b) e igualando dL / dt ao torque resultante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um sistema com duas massas e uma polia. A matéria envolvida aqui é dinâmica rotacional, que estuda como objetos giram quando forças e torques atuam sobre eles. Para resolver, vamos precisar entender conceitos como torque, momento de inércia e momento angular. Vamos por partes!

Passo 2

Parte (a): Encontrar o torque externo resultante em relação ao centro da polia.
Primeiro, vamos identificar as forças que causam torque na polia. Temos duas forças puxando a corda: uma de cada massa. A massa de 2 kg está pendurada e exerce uma força para baixo devido à gravidade, que cria torque na polia.
O torque ( tau = F times r ) é dado por:
F = m times g = 2,kg times 9,8,m/s² = 19,6,N
onde:
  • r = 4,cm = 0,04,m é a força aplicada,
  • tau = 19,6,N times 0,04,m = 0,784,N cdot m é o raio da polia.
A força aqui é o peso da massa de 2 kg:
²
O raio da polia é 4 cm, que precisamos converter para metros:
Então, o torque é:

Passo 3

Parte (b): Encontrar o momento angular total do sistema quando as massas se movem com velocidade I = 12 M r² e a polia gira com velocidade angular I = 12 times 1,kg times (0,04,m)² = 0,0008,kg cdot m² .
O momento angular ( Lpolia = I times omega = 0,0008,kg cdot m² times v0,04,m = 0,02,kg cdot m cdot v ) é uma medida de quão difícil é parar um objeto em rotação. Para o nosso sistema, temos duas contribuições:
  1. O momento angular da polia.
  2. O momento angular das massas em movimento.
Primeiro, calculamos o momento angular da polia. A polia é um cilindro, e o momento de inércia ( Lmassa = m times v times r = 2,kg times v times 0,04,m = 0,08,kg cdot m cdot v ) de um cilindro em relação ao seu eixo é:
Ltotal = Lpolia + Lmassa = 0,02,kg cdot m cdot v + 0,08,kg cdot m cdot v = 0,10,kg cdot m cdot v ²
onde e :
²²
Agora, o momento angular da polia:
²
Para as massas:
  • A massa na mesa (4 kg) está se movendo linearmente, mas também tem momento angular devido à rotação da polia. Porém, como está na mesa sem atrito, seu momento angular é zero em relação ao eixo da polia.
  • A massa pendurada (2 kg) está se movendo com velocidade , então seu momento angular é:
Somando ambos:

Passo 4

Parte ©: Determinar a aceleração dos dois corpos derivando o momento angular total e igualando dLdt = tau ao torque resultante.
Sabemos que:
Ltotal = 0,10,kg cdot m cdot v
Da parte (b), temos:
dLdt = 0,10,kg cdot m cdot dvdt = 0,10,kg cdot m cdot a
Então, derivando em relação ao tempo:
0,10,kg cdot m cdot a = 0,784,N cdot m
Onde a = 0,784,N cdot m0,10,kg cdot m = 7,84,m/s² é a aceleração linear das massas.
Igualando ao torque da parte (a):
Resolvendo para :
²

Resposta

(a) O torque externo resultante é de 0,784 N·m.
(b) O momento angular total do sistema é 0,10 kg·m·v.
© A aceleração dos dois corpos é de 7,84 m/s².

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