Temos 4 corpos ligados por barrotes muito leves cujos momentos de inércia podem ser desprezados. O sistema gira entorno do eixo dos y com velocidade angular de 2 rad / s. (a) Determinar a velocidade escalar de cada corpo e usá-la para calcular a energia cinética do sistema diretamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema com 4 corpos ligados por barras muito leves que giram em torno do eixo y com uma velocidade angular de 2 , rad/s. O que precisamos fazer aqui é encontrar a velocidade escalar de cada um desses corpos e, com isso, calcular a energia cinética total do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é velocidade escalar. Em um movimento circular, a velocidade escalar ( v) de um corpo é a rapidez com que ele se move ao longo da trajetória circular. Ela está relacionada com a velocidade angular ( omega) e a distância do corpo ao eixo de rotação ( r) pela fórmula:
v = omega cdot r
Aqui, omega é a velocidade angular dada no enunciado, que é 2 , rad/s.

Passo 3

Para encontrar a velocidade escalar de cada corpo, precisamos saber a distância de cada um ao eixo de rotação (o eixo y). Supondo que as distâncias sejam r1, r2, r3 e r4 para os quatro corpos, aplicamos a fórmula mencionada:
v1 = omega cdot r1
v2 = omega cdot r2
v3 = omega cdot r3
v4 = omega cdot r4

Passo 4

Com as velocidades escalares de cada corpo calculadas, podemos determinar a energia cinética total do sistema. A energia cinética ( Ek) de um corpo em movimento circular é dada por:
Ek = 12 m v^2
Onde m é a massa do corpo e v é a sua velocidade escalar.

Passo 5

Aplicando essa fórmula para cada um dos quatro corpos, temos:
Ek1 = 12 m1 v1^2
Ek2 = 12 m2 v2^2
Ek3 = 12 m3 v3^2
Ek4 = 12 m4 v4^2
A energia cinética total do sistema será a soma das energias cinéticas de todos os corpos:
Ektotal = Ek1 + Ek2 + Ek3 + Ek4

Resposta

Portanto, a velocidade escalar de cada corpo é vi = 2 , rad/s cdot ri e a energia cinética total do sistema é:
Ektotal = 12 m1 (2 r1)^2 + 12 m2 (2 r2)^2 + 12 m3 (2 r3)^2 + 12 m4 (2 r4)^2
Simplificando:
Ektotal = 2 ( m1 r1^2 + m2 r2^2 + m3 r3^2 + m4 r4^2 ) , J

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