Temos 4 corpos ligados por barrotes muito leves cujos momentos de inércia podem ser desprezados. O sistema gira entorno do eixo dos y com velocidade angular de . (a) Determinar a velocidade escalar de cada corpo e usá-la para calcular a energia cinética do sistema diretamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema com 4 corpos ligados por barras muito leves que giram em torno do eixo y com uma velocidade angular de . O que precisamos fazer aqui é encontrar a velocidade escalar de cada um desses corpos e, com isso, calcular a energia cinética total do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é velocidade escalar. Em um movimento circular, a velocidade escalar ( ) de um corpo é a rapidez com que ele se move ao longo da trajetória circular. Ela está relacionada com a velocidade angular ( ) e a distância do corpo ao eixo de rotação ( ) pela fórmula:
Aqui, é a velocidade angular dada no enunciado, que é .

Passo 3

Para encontrar a velocidade escalar de cada corpo, precisamos saber a distância de cada um ao eixo de rotação (o eixo y). Supondo que as distâncias sejam , , e para os quatro corpos, aplicamos a fórmula mencionada:

Passo 4

Com as velocidades escalares de cada corpo calculadas, podemos determinar a energia cinética total do sistema. A energia cinética ( ) de um corpo em movimento circular é dada por:
Onde é a massa do corpo e é a sua velocidade escalar.

Passo 5

Aplicando essa fórmula para cada um dos quatro corpos, temos:
A energia cinética total do sistema será a soma das energias cinéticas de todos os corpos:

Resposta

Portanto, a velocidade escalar de cada corpo é e a energia cinética total do sistema é:
Simplificando:

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(b) Determinar o momento de inércia no entorno do eixo y e calcular a energia cinética. Determinar a percentagem da energia cinética total que está associada à rotação e a translação, quando o corpo que rola sem escorregar è: (a) uma esfera; (b) um cilindro uniforme e © um aro circular.
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