(b) Determine uma aproximação da soma da série sumn=1^+infty (-1)^n-1(2 n-1) ! com precisão de três casas decimais.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar uma aproximação para a soma da série infinita com precisão de três casas decimais. Para isso, vamos usar conceitos de séries alternadas e fatoriais, somando os termos até alcançar a precisão desejada.

Passo 2

A série dada é uma série alternada porque os termos mudam de sinal conforme aumenta, devido ao fator . Além disso, o denominador é o fatorial de números ímpares , o que significa que os denominadores crescem rapidamente à medida que aumenta.

Passo 3

Para encontrar a aproximação com três casas decimais, vamos somar os termos da série até que o próximo termo seja menor que (metade da última casa decimal que queremos). Isso garante que a soma esteja correta até a terceira casa decimal.

Passo 4

Vamos calcular os termos da série até que o valor absoluto do próximo termo seja menor que (-1)^1-1(2 cdot 1 -1)! = 11! = 1 :
Para (-1)^2-1(2 cdot 2 -1)! = -13! = -16 approx -0,166667 :
(-1)^3-1(2 cdot 3 -1)! = 15! = 1120 approx 0,008333
Para (-1)^4-1(2 cdot 4 -1)! = -17! = -15040 approx -0,000198 :
Para :
Para :
O próximo termo para seria , que é aproximadamente , já menor que , então podemos parar aqui.

Resposta

A aproximação da soma da série é com precisão de três casas decimais.

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