(b) Determine uma aproximação da soma da série
com precisão de três casas decimais.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar uma aproximação para a soma da série infinita
com precisão de três casas decimais. Para isso, vamos usar conceitos de séries alternadas e fatoriais, somando os termos até alcançar a precisão desejada.
Passo 2
A série dada é uma série alternada porque os termos mudam de sinal conforme
aumenta, devido ao fator
. Além disso, o denominador é o fatorial de números ímpares
, o que significa que os denominadores crescem rapidamente à medida que
aumenta.
Passo 3
Para encontrar a aproximação com três casas decimais, vamos somar os termos da série até que o próximo termo seja menor que
(metade da última casa decimal que queremos). Isso garante que a soma esteja correta até a terceira casa decimal.
Passo 4
Vamos calcular os termos da série até que o valor absoluto do próximo termo seja menor que
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
O próximo termo para
seria
, que é aproximadamente
, já menor que
, então podemos parar aqui.
Resposta
A aproximação da soma da série é
com precisão de três casas decimais.
Exercícios relacionados
(b)
, quando o ponto ordinário for
.
Resolva a EDP a seguir:
(a) , sendo
a bola unitária fechada centrada na origem de
.
(a)
(a) Mostre que a série
converge pelo teste da série alternada.
Obtenha uma representação em série de potências em torno de
(dado abaixo) para as funções, abaixo, e determine o intervalo de convergência de cada uma.
(a) ,
(a)