Resolva a EDP a seguir:
(a) , sendo a bola unitária fechada centrada na origem de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equação diferencial parcial (EDP). A gente tem que encontrar uma função que satisfaça a equação de Laplace ( ) dentro de uma bola unitária no espaço tridimensional ( ), e que nessa superfície (a fronteira da bola) a função seja igual a 2024. Para resolver isso, vamos usar conceitos de harmônicos e condições de contorno.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a equação de Laplace. A equação significa que a função é harmônica dentro do domínio . Funções harmônicas têm a propriedade de serem suaves e, em muitas situações físicas, representam estados de equilíbrio, como a temperatura estável em uma região.

Passo 3

Nosso domínio é a bola unitária fechada em , ou seja, todos os pontos a uma distância menor ou igual a 1 da origem. A fronteira é a superfície esférica dessa bola.

Passo 4

A condição de contorno dada é em . Isso significa que, na superfície da bola, o valor da função é constante e igual a 2024.

Passo 5

Sabendo que é harmônica e constante na fronteira, podemos usar o princípio do valor mínimo para funções harmônicas. Esse princípio diz que o valor de uma função harmônica dentro de um domínio não pode ter os seus extremos internos, ou seja, se a função atinge um valor constante na fronteira, ela deve ser constante em todo o domínio.

Passo 6

Aplicando esse princípio, concluímos que se é constante na fronteira e harmônica dentro da bola, então deve ser constante em todo o volume da bola unitária.

Passo 7

Portanto, a única função que satisfaz em e em é a função constante em todo o domínio.

Resposta

A solução da EDP é para todos os pontos dentro da bola unitária .

Exercícios relacionados

Resolva a EDP a seguir:
(b) .
Suponha que a região sólida e a superfície , orientada pelo campo unitário normal , satisfaçam as hipóteses do Teorema da Divergência. Demonstre que:
(e) , para quaisquer funções suaves e .
(b) , quando o ponto ordinário for .
(b) Determine uma aproximação da soma da série com precisão de três casas decimais.