Resolva a EDP a seguir:
(a)
, sendo
a bola unitária fechada centrada na origem de
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de equação diferencial parcial (EDP). A gente tem que encontrar uma função
que satisfaça a equação de Laplace (
) dentro de uma bola unitária no espaço tridimensional (
), e que nessa superfície (a fronteira da bola) a função
seja igual a 2024. Para resolver isso, vamos usar conceitos de harmônicos e condições de contorno.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a equação de Laplace. A equação
significa que a função
é harmônica dentro do domínio
. Funções harmônicas têm a propriedade de serem suaves e, em muitas situações físicas, representam estados de equilíbrio, como a temperatura estável em uma região.
Passo 3
Nosso domínio
é a bola unitária fechada em
, ou seja, todos os pontos a uma distância menor ou igual a 1 da origem. A fronteira
é a superfície esférica dessa bola.
Passo 4
A condição de contorno dada é
em
. Isso significa que, na superfície da bola, o valor da função
é constante e igual a 2024.
Passo 5
Sabendo que
é harmônica e constante na fronteira, podemos usar o princípio do valor mínimo para funções harmônicas. Esse princípio diz que o valor de uma função harmônica dentro de um domínio não pode ter os seus extremos internos, ou seja, se a função atinge um valor constante na fronteira, ela deve ser constante em todo o domínio.
Passo 6
Aplicando esse princípio, concluímos que se
é constante na fronteira e harmônica dentro da bola, então
deve ser constante em todo o volume da bola unitária.
Passo 7
Portanto, a única função que satisfaz
em
e
em
é a função constante
em todo o domínio.
Resposta
A solução da EDP é
para todos os pontos
dentro da bola unitária
.
Exercícios relacionados
Resolva a EDP a seguir:
(b) .
(b)
Suponha que a região sólida
e a superfície
, orientada pelo campo unitário normal
, satisfaçam as hipóteses do Teorema da Divergência. Demonstre que:
(e) , para quaisquer funções suaves
e
.
(e)
(b)
, quando o ponto ordinário for
.
(b) Determine uma aproximação da soma da série
com precisão de três casas decimais.