(b)
, quando o ponto ordinário for
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
considerando o ponto ordinário
. Estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Isso significa que a parte sem o termo independente é igual a zero.
Passo 3
Para resolver
, encontramos a equação característica substituindo
por
. Assim, temos:
Resolvendo, obtemos as raízes
e
.
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é uma combinação linear das soluções correspondentes:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa
. Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau, vamos assumir que
também seja um polinômio de primeiro grau:
onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 6
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo na equação diferencial:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Então, a solução particular é:
Passo 8
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
e
são constantes arbitrárias.