(b) , quando o ponto ordinário for .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial considerando o ponto ordinário . Estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Isso significa que a parte sem o termo independente é igual a zero.

Passo 3

Para resolver , encontramos a equação característica substituindo por . Assim, temos:
Resolvendo, obtemos as raízes e .

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é uma combinação linear das soluções correspondentes:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa . Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau, vamos assumir que também seja um polinômio de primeiro grau:
onde e são constantes a serem determinadas.

Passo 6

Calculamos as derivadas de :
Substituindo na equação diferencial:

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Então, a solução particular é:

Passo 8

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Resolva a EDP a seguir:
(a) , sendo a bola unitária fechada centrada na origem de .
Resolva a EDP a seguir:
(b) .
(b) Determine uma aproximação da soma da série com precisão de três casas decimais.
(a) Mostre que a série converge pelo teste da série alternada.