(a) Mostre que a série
converge pelo teste da série alternada.
Passo 1
Então, a gente tem essa série aqui:
. O que a gente vai fazer é mostrar que essa série converge usando o Teste da Série Alternada. Esse teste é útil quando os termos da série mudam de sinal de forma alternada, tipo positivo, negativo, positivo, e assim por diante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da série. Podemos escrever a série da seguinte forma:
Aqui,
é a parte que alterna os sinais dos termos, e
é o valor absoluto de cada termo.
Passo 3
Agora, vamos definir
. Para aplicar o Teste da Série Alternada, precisamos verificar duas coisas:
-
é decrescente: Ou seja, cada termo subsequente é menor que o anterior. -
: O limite dos termos quando vai para o infinito é zero.
Passo 4
Vamos verificar se
é decrescente:
Sabemos que
, então:
Portanto,
é decrescente.
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite de
quando
vai para o infinito:
Isso porque o fatorial cresce muito rápido, fazendo com que
se aproxime de zero.
Resposta
Como
é decrescente e
, pela Teste da Série Alternada, a série
converge.
Exercícios relacionados
(b) Determine uma aproximação da soma da série
com precisão de três casas decimais.
(b)
, quando o ponto ordinário for
.
Obtenha uma representação em série de potências em torno de
(dado abaixo) para as funções, abaixo, e determine o intervalo de convergência de cada uma.
(a) ,
(a)
Determine uma aproximação de
com prescisão de três casas decimais.