(a) Mostre que a série sumn=1^+infty (-1)^n-1(2 n-1) ! converge pelo teste da série alternada.

Passo 1

Então, a gente tem essa série aqui: . O que a gente vai fazer é mostrar que essa série converge usando o Teste da Série Alternada. Esse teste é útil quando os termos da série mudam de sinal de forma alternada, tipo positivo, negativo, positivo, e assim por diante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da série. Podemos escrever a série da seguinte forma:
sumn=1^+infty (-1)^n-1 cdot 1(2n-1)!
Aqui, é a parte que alterna os sinais dos termos, e é o valor absoluto de cada termo.

Passo 3

Agora, vamos definir . Para aplicar o Teste da Série Alternada, precisamos verificar duas coisas:
  1. é decrescente: Ou seja, cada termo subsequente é menor que o anterior.
  2. : O limite dos termos quando vai para o infinito é zero.

Passo 4

Vamos verificar se an = 1(2n-1)! e an+1 = 1(2(n+1)-1)! = 1(2n+1)! é decrescente:
an+1 = 1(2n+1)! < 1(2n-1)! = an
Sabemos que , então:
Portanto, é decrescente.

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite de limn to infty 1(2n-1)! = 0 quando vai para o infinito:
Isso porque o fatorial cresce muito rápido, fazendo com que se aproxime de zero.

Resposta

Como é decrescente e , pela Teste da Série Alternada, a série converge.

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