(a) Mostre que a série converge pelo teste da série alternada.

Passo 1

Então, a gente tem essa série aqui: . O que a gente vai fazer é mostrar que essa série converge usando o Teste da Série Alternada. Esse teste é útil quando os termos da série mudam de sinal de forma alternada, tipo positivo, negativo, positivo, e assim por diante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da série. Podemos escrever a série da seguinte forma:
Aqui, é a parte que alterna os sinais dos termos, e é o valor absoluto de cada termo.

Passo 3

Agora, vamos definir . Para aplicar o Teste da Série Alternada, precisamos verificar duas coisas:
  1. é decrescente: Ou seja, cada termo subsequente é menor que o anterior.
  2. : O limite dos termos quando vai para o infinito é zero.

Passo 4

Vamos verificar se é decrescente:
Sabemos que , então:
Portanto, é decrescente.

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite de quando vai para o infinito:
Isso porque o fatorial cresce muito rápido, fazendo com que se aproxime de zero.

Resposta

Como é decrescente e , pela Teste da Série Alternada, a série converge.

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(b) Determine uma aproximação da soma da série com precisão de três casas decimais.
(b) , quando o ponto ordinário for .
Obtenha uma representação em série de potências em torno de (dado abaixo) para as funções, abaixo, e determine o intervalo de convergência de cada uma.
(a) ,
Determine uma aproximação de com prescisão de três casas decimais.