Obtenha uma representação em série de potências em torno de (dado abaixo) para as funções, abaixo, e determine o intervalo de convergência de cada uma.
(a) ,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma representação em série de potências para a função centrada em . Além disso, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Isso envolve conhecimentos de séries de potências e o cálculo de suas regiões onde a série realmente funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de potências. Basicamente, é uma soma infinita de termos da forma , onde são os coeficientes e é o ponto central. Nosso objetivo é expressar nessa forma.
Uma ferramenta útil para isso é a série binomial, que nos permite expandir funções como em uma série. No nosso caso, podemos reescrever como .
A fórmula da série binomial para é:
onde .
Passo 3
Então, aplicando isso à nossa função , temos:
Agora, vamos calcular os coeficientes :
Para os primeiros termos, fica assim:
Para :
Para :
Para :
E assim por diante.
Passo 4
Vamos escrever alguns termos da série para termos uma ideia melhor:
Essa é a representação em série de potências de em torno de .
Passo 5
Agora, precisamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Para isso, usamos o critério da razão, que nos ajuda a encontrar os valores de para os quais a série converge.
Aplicando o teste da razão:
Resolviendo isso para nossa série específica, descobrimos que a série converge para .
Resposta
A representação em série de potências de em torno de é: