(b) Determine a equação do plano pi que possui um ponto A(1,-1,2) e é ortogonal ao vetor v=(2,-3,1)

Passo 1

Vamos resumir o problema: precisamos encontrar a equação de um plano, chamado pi, que passa pelo ponto A(1,-1,2) e é ortogonal ao vetor v=(2,-3,1). Vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional, especificamente a equação geral de um plano e a relação com vetores normais.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que a equação geral de um plano pode ser escrita como:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Aqui, (x0, y0, z0) é um ponto conhecido no plano e (a, b, c) são as componentes do vetor normal ao plano.

Passo 3

No nosso caso, o ponto A(1,-1,2) está no plano, então podemos usar suas coordenadas como (x0, y0, z0). Além disso, o vetor v=(2,-3,1) é ortogonal ao plano, ou seja, ele é o vetor normal (a, b, c).

Passo 4

Substituindo os valores na equação geral do plano, temos:
2(x - 1) - 3(y + 1) + 1(z - 2) = 0

Passo 5

Agora, vamos simplificar essa equação:
2x - 2 - 3y - 3 + z - 2 = 0
2x - 3y + z - 7 = 0

Resposta

A equação do plano pi é:
2x - 3y + z - 7 = 0

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