Classifique as afirmações em verdadeiras (V) ou falsas (F). Justifique suas respostas. (d) Se A e B são matrizes 2 times 2, então A B=B A.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: “Se A e B são matrizes 2 times 2, então A B = B A.” Isso está relacionado ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente à multiplicação de matrizes e suas propriedades. Para resolver, vamos precisar entender que, em geral, a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, A B nem sempre é igual a B A.

Passo 2

A multiplicação de matrizes envolve combinar linhas e colunas de formas específicas, e essa operação não necessariamente produz o mesmo resultado se as matrizes forem trocadas de ordem. Para verificar se a afirmação é verdadeira, podemos tentar encontrar um exemplo onde A B neq B A.
Considere as matrizes:
A = 1 & 2 3 & 4 , B = 0 & 1 1 & 0
Calculando A B:
A B = 1 times 0 + 2 times 1 & 1 times 1 + 2 times 0 3 times 0 + 4 times 1 & 3 times 1 + 4 times 0 = 2 & 1 4 & 3
Calculando B A:
B A = 0 times 1 + 1 times 3 & 0 times 2 + 1 times 4 1 times 1 + 0 times 3 & 1 times 2 + 0 times 4 = 3 & 4 1 & 2
Observamos que A B neq B A.

Resposta

Falso. Em geral, para matrizes 2 times 2, A B não é igual a B A.

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Seja A=(ai j)n times n uma matriz quadrada de ordem n. Definimos o traço de A, e denotamos por Tr(A), a soma das entradas da diagonal principal. Assim,
Tr(A)=sumk=1^n ak k=a11+a22+a33+a44+ldots+an n
Considere, agora, as seguintes matrizes
A=[rrr 1 & -1 & -3 1 & 3 & -5 9 & -2 & 1 ] e B=[lll 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 ]
Calcule Tr(A), Tr(B) e verifique que:
(a) Tr(A+B)=Tr(A)+Tr(B);
(b) Tr(lambda A)=lambda Tr(A), forall lambda in R
© Tr(A B)=Tr(B A);
(d) Tr(A^t)=Tr(A);
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(d) x1^-2+x2+8 x3=5
(b) x1+3 x2+x1 x3=2
(e) x1^3 / 5-2 x2+x3=4
© x1=-7 x2+3 x3
(f) pi x1-raiz2 x2+13 x3=7^1 / 3