Dadas as retas
e
. Considere esses dados para responder as seguintes.
(b)
ponto
Mostre que as bissetrizes encontradas são perpendiculares.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo! Temos duas retas:
- Reta s:
- Reta t:
A parte (b) da questão quer que a gente mostre que as bissetrizes encontradas são perpendiculares. Ou seja, precisamos encontrar as bissetrizes dos ângulos formados por essas duas retas e depois provar que essas bissetrizes são perpendiculares entre si. Para isso, vamos precisar saber sobre bissetrizes de ângulos entre retas e como verificar se duas retas são perpendiculares usando as inclinações (coeficientes angulares) delas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as bissetrizes dos ângulos entre as retas s e t. Para encontrar as bissetrizes entre duas retas, usamos a fórmula das bissetrizes angulares, que é baseada nos coeficientes angulares das retas.
As equações das retas estão na forma geral
. Podemos reescrever as equações das retas s e t da seguinte maneira:
- Reta s:
- Reta t:
Passo 3
A fórmula para as bissetrizes entre duas retas
e
é dada por:
Vamos aplicar essa fórmula às retas s e t.
Primeiro, calculamos os denominadores:
Agora, substituímos na fórmula das bissetrizes:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 4
Vamos resolver para os dois casos do sinal
:
- Caso positivo (+):
Expandindo:
Levantando todos os termos para um lado:
Fatorando
e
:
Essa é uma das bissetrizes. Vamos chamar de Bissetriz 1.
- Caso negativo (-):
Expandindo:
Levantando todos os termos para um lado:
Fatorando
e
:
Essa é a outra bissetriz. Vamos chamar de Bissetriz 2.
Passo 5
Agora, vamos encontrar as inclinações (coeficientes angulares) das duas bissetrizes. Para isso, precisamos colocar as equações das bissetrizes na forma
, onde
é a inclinação.
Vamos simplificar as equações das bissetrizes obtidas.
Para a Bissetriz 1:
Isolando
:
Logo, o coeficiente angular
da Bissetriz 1 é:
Para a Bissetriz 2:
Isolando
:
Logo, o coeficiente angular
da Bissetriz 2 é:
Passo 6
Para mostrar que as bissetrizes são perpendiculares, precisamos verificar se o produto dos coeficientes angulares
.
Calculando o produto:
Simplificando os sinais:
Observe que temos
. Aplicando isso:
Resposta
As bissetrizes das retas
e
são perpendiculares porque o produto de seus coeficientes angulares é igual a
.