Dadas as retas s: 3 x+4 y=7 e t: x+5 y=6. Considere esses dados para responder as seguintes.
(b) [1,0 ponto ] Mostre que as bissetrizes encontradas são perpendiculares.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo! Temos duas retas:
  • Reta s:
  • Reta t:
A parte (b) da questão quer que a gente mostre que as bissetrizes encontradas são perpendiculares. Ou seja, precisamos encontrar as bissetrizes dos ângulos formados por essas duas retas e depois provar que essas bissetrizes são perpendiculares entre si. Para isso, vamos precisar saber sobre bissetrizes de ângulos entre retas e como verificar se duas retas são perpendiculares usando as inclinações (coeficientes angulares) delas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as bissetrizes dos ângulos entre as retas s e t. Para encontrar as bissetrizes entre duas retas, usamos a fórmula das bissetrizes angulares, que é baseada nos coeficientes angulares das retas.
As equações das retas estão na forma geral . Podemos reescrever as equações das retas s e t da seguinte maneira:
  • Reta s:
  • Reta t:

Passo 3

A fórmula para as bissetrizes entre duas retas A1x + B1y + C1raizA1^2 + B1^2 = pm A2x + B2y + C2raizA2^2 + B2^2 e raiz3^2 + 4^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5 é dada por:
raiz1^2 + 5^2 = raiz1 + 25 = raiz26
Vamos aplicar essa fórmula às retas s e t.
Primeiro, calculamos os denominadores:
3x + 4y - 75 = pm x + 5y - 6raiz26
raiz26(3x + 4y - 7) = pm 5(x + 5y - 6)
Agora, substituímos na fórmula das bissetrizes:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 4

Vamos resolver para os dois casos do sinal raiz26(3x + 4y - 7) = 5(x + 5y - 6) :
  1. Caso positivo (+):
3raiz26x + 4raiz26y - 7raiz26 = 5x + 25y - 30
Expandindo:
3raiz26x - 5x + 4raiz26y - 25y = 7raiz26 - 30
Levantando todos os termos para um lado:
x(3raiz26 - 5) + y(4raiz26 - 25) = 7raiz26 - 30
Fatorando raiz26(3x + 4y - 7) = -5(x + 5y - 6) e 3raiz26x + 4raiz26y - 7raiz26 = -5x - 25y + 30 :
3raiz26x + 5x + 4raiz26y + 25y = 7raiz26 + 30
Essa é uma das bissetrizes. Vamos chamar de Bissetriz 1.
  1. Caso negativo (-):
x(3raiz26 + 5) + y(4raiz26 + 25) = 7raiz26 + 30
Expandindo:
Levantando todos os termos para um lado:
Fatorando e :
Essa é a outra bissetriz. Vamos chamar de Bissetriz 2.

Passo 5

Agora, vamos encontrar as inclinações (coeficientes angulares) das duas bissetrizes. Para isso, precisamos colocar as equações das bissetrizes na forma x(3raiz26 - 5) + y(4raiz26 - 25) = 7raiz26 - 30 , onde y = 7raiz26 - 30 - x(3raiz26 - 5)4raiz26 - 25 é a inclinação.
Vamos simplificar as equações das bissetrizes obtidas.
Para a Bissetriz 1:
m1 = -(3raiz26 - 5)4raiz26 - 25
Isolando x(3raiz26 + 5) + y(4raiz26 + 25) = 7raiz26 + 30 :
y = 7raiz26 + 30 - x(3raiz26 + 5)4raiz26 + 25
Logo, o coeficiente angular m2 = -(3raiz26 + 5)4raiz26 + 25 da Bissetriz 1 é:
Para a Bissetriz 2:
Isolando :
Logo, o coeficiente angular da Bissetriz 2 é:

Passo 6

Para mostrar que as bissetrizes são perpendiculares, precisamos verificar se o produto dos coeficientes angulares m1 times m2 = (-(3raiz26 - 5)4raiz26 - 25) times (-(3raiz26 + 5)4raiz26 + 25) .
Calculando o produto:
m1 times m2 = (3raiz26 - 5)(3raiz26 + 5)(4raiz26 - 25)(4raiz26 + 25)
Simplificando os sinais:
m1 times m2 = (3raiz26)^2 - (5)^2(4raiz26)^2 - (25)^2 = 9 times 26 - 2516 times 26 - 625 = 234 - 25416 - 625 = 209-209 = -1
Observe que temos . Aplicando isso:

Resposta

As bissetrizes das retas e são perpendiculares porque o produto de seus coeficientes angulares é igual a .

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Seja A=(ai j)n times n uma matriz quadrada de ordem n. Definimos o traço de A, e denotamos por Tr(A), a soma das entradas da diagonal principal. Assim,
Tr(A)=sumk=1^n ak k=a11+a22+a33+a44+ldots+an n
Considere, agora, as seguintes matrizes
A=[rrr 1 & -1 & -3 1 & 3 & -5 9 & -2 & 1 ] e B=[lll 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 ]
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© Tr(A B)=Tr(B A);
(d) Tr(A^t)=Tr(A);
(e) Tr(A A^t)>0 e Tr(B B^t)>0.
As propriedades de 1 a 4 valem pra qualquer par de matrizes e a 5 vale sempre que A neq 0. Tente provar isso.
Dados os Subespaços,
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