(b) Determine as equações das retas paralelas à reta r: 2 x+y=1 que distam 3 unidades de r.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (b) do exercício. A gente precisa encontrar as equações das retas que são paralelas à reta e que estão a uma distância de 3 unidades dessa reta. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como retas paralelas e a fórmula da distância entre duas retas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que duas retas são paralelas se elas têm os mesmos coeficientes angulares. Olhando para a reta , podemos reescrevê-la na forma geral , ficando . Isso significa que qualquer reta paralela a terá a forma , onde é uma constante diferente de .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o valor de d = |C2 - C1|raizA^2 + B^2 de forma que a distância entre a reta 3 = |C - (-1)|raiz2^2 + 1^2 = |C + 1|raiz5 e a nova reta seja exatamente 3 unidades. A fórmula para calcular a distância entre duas retas paralelas e é:
No nosso caso, , , e . Vamos substituir esses valores na fórmula:

Passo 4

Agora, vamos resolver para |C + 1| = 3 raiz5 :
Isso nos dá duas possibilidades:

Passo 5

Com os valores de encontrados, podemos escrever as equações das retas paralelas a que estão a 3 unidades de distância:

Resposta

As equações das retas paralelas à reta 2x + y = 1 + 3raiz5 que estão a 3 unidades de distância são:
2x + y = 1 - 3raiz5
e

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