Encontre o ângulo entre as retas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o ângulo entre duas retas no espaço. Para isso, vamos precisar entender como estão definidas essas retas e utilizar conceitos de vetores diretores e produto escalar. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos interpretar as equações das retas. As equações estão na forma simétrica, que geralmente é escrita assim:
onde
é um ponto na reta e
é o vetor diretor.
No nosso caso, as retas são:
Vamos reescrever para identificar os vetores diretores.
Passo 3
Para a primeira reta:
Então, o vetor diretor
é
.
Para a segunda reta:
Então, o vetor diretor
é
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto escalar dos vetores diretores:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Passo 5
Agora, vamos calcular os módulos dos vetores
e
:
Passo 6
Agora, usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
Substituindo os valores calculados:
Calculando
:
Então:
Resposta
O ângulo entre as duas retas é aproximadamente
.