Encontre o ângulo entre as retas 2 x 3=y 2=3 z 2 e 2 x=y 2=5 z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o ângulo entre duas retas no espaço. Para isso, vamos precisar entender como estão definidas essas retas e utilizar conceitos de vetores diretores e produto escalar. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos interpretar as equações das retas. As equações estão na forma simétrica, que geralmente é escrita assim:
x - x0a = y - y0b = z - z0c
onde é um ponto na reta e é o vetor diretor.
No nosso caso, as retas são:
Vamos reescrever para identificar os vetores diretores.

Passo 3

Para a primeira reta:
x3/2 = y2 = z2/3
Então, o vetor diretor x1/2 = y2 = z1/5 é .
Para a segunda reta:
Então, o vetor diretor é .

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar dos vetores diretores:
u cdot v = ( 32 ) ( 12 ) + (2)(2) + ( 23 ) ( 15 )
Calculando cada termo:
( 32 times 12 ) = 34
2 times 2 = 4
23 times 15 = 215
Somando tudo:
34 + 4 + 215 = 4560 + 24060 + 860 = 29360

Passo 5

Agora, vamos calcular os módulos dos vetores |u| = raiz ( 32 )^2 + 2^2 + ( 23 )^2 = raiz 94 + 4 + 49 = raiz 8136 + 14436 + 1636 = raiz 24136 = raiz2416 e |v| = raiz ( 12 )^2 + 2^2 + ( 15 )^2 = raiz 14 + 4 + 125 = raiz 25100 + 400100 + 4100 = raiz 429100 = raiz42910 :

Passo 6

Agora, usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
costheta = u cdot v |u| cdot |v|
Substituindo os valores calculados:
costheta = 29360 raiz2416 times raiz42910 = 29360 div ( raiz241 times raiz42960 ) = 293raiz241 times 429
Calculando 241 times 429 = 103,389 Rightarrow raiz103,389 approx 321.5 :
costheta approx 293321.5 approx 0.911
Então:

Resposta

O ângulo entre as duas retas é aproximadamente .

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