Beleza, vamos ver o que a pergunta está pedindo. A gente tem o conjunto formado por todas as matrizes com entradas reais que são simétricas, ou seja, (onde é a transposta de ). A questão é saber se esse conjunto é um subespaço do espaço das matrizes , denotado por .
Para resolver isso, vamos usar os critérios que definem um subespaço vetorial. Precisamos verificar três coisas:
Se o zero do espaço está em .
Se é fechado para adição.
Se é fechado para multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em 0 = 0 & 0 0 & 0 . O vetor zero em é a matriz toda de zeros:
Como essa matriz é igual à sua transposta (porque todos os elementos são zero), ela pertence a . Então, o primeiro critério está satisfeito.
Passo 3
Agora, vamos ver se A + B = A^t + B^t = (A + B)^t é fechado para adição. Isso significa que se pegarmos duas matrizes e em , a soma também deve estar em .
Se e , então:
Então, a soma também é igual à sua transposta, ou seja, está em . Portanto, é fechado para adição.
Passo 4
Por último, vamos verificar se cA = cA^t = (cA)^t é fechado para multiplicação por escalar. Isso quer dizer que, se está em e é um número real, então também deve estar em .
Se , então:
Então, também é igual à sua transposta, ou seja, está em . Assim, é fechado para multiplicação por escalar.
Resposta
Como contém o zero, é fechado para adição e para multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço de .