(b) Determine extremos absolutos para
no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos absolutos da função
no intervalo
. Isso significa que vamos procurar os maiores e menores valores que essa função atinge dentro desse intervalo. Para isso, vamos precisar usar derivadas para encontrar pontos críticos e, depois, comparar os valores da função nesses pontos e nas extremidades do intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a identificar onde a função tem máximos ou mínimos locais.
A função é:
Usando a regra da cadeia para derivar, temos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de
onde a derivada é zero ou não existe.
- Derivada igual a zero:
- Derivada não existe:
A derivada não existe quando o denominador é zero:
Dentro do intervalo
, temos
como ponto crítico.
Então, nossos pontos críticos são
e
.
Passo 4
Vamos agora avaliar a função
nesses pontos críticos e também nas extremidades do intervalo
.
-
Extremidades do intervalo:
-
Em
: -
Em
:
-
-
Pontos críticos:
-
Em
: -
Em
:
-
Resposta
Então, comparando os valores calculados:
- Máximo absoluto:
em - Mínimo absoluto:
em
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Usando a trasformada de Laplace, resolva o seguinte problema ao valor inicia
onde
obs
Use o sinal da derivada segunda para determinar intervalos de concavidade e convexidade das funções a seguir:
(a) .
(a)
Calcule
Uma caixa de base quadrada e sem tampa possui um volume de 108 polegadas cúbicas. Encontre as dimensões da caixa de maneira que o material usado seja mínimo. [Resp: 6 polegadas de lado e 3 de altura]