(b) Determine extremos absolutos para no intervalo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos absolutos da função no intervalo . Isso significa que vamos procurar os maiores e menores valores que essa função atinge dentro desse intervalo. Para isso, vamos precisar usar derivadas para encontrar pontos críticos e, depois, comparar os valores da função nesses pontos e nas extremidades do intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos ajuda a identificar onde a função tem máximos ou mínimos locais.
A função é:
Usando a regra da cadeia para derivar, temos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de onde a derivada é zero ou não existe.
  1. Derivada igual a zero:
  1. Derivada não existe:
    A derivada não existe quando o denominador é zero:
Dentro do intervalo , temos como ponto crítico.
Então, nossos pontos críticos são e .

Passo 4

Vamos agora avaliar a função nesses pontos críticos e também nas extremidades do intervalo .
  1. Extremidades do intervalo:
    • Em :
    • Em :
  2. Pontos críticos:
    • Em :
    • Em :

Resposta

Então, comparando os valores calculados:
  • Máximo absoluto: em
  • Mínimo absoluto: em

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Usando a trasformada de Laplace, resolva o seguinte problema ao valor inicia
onde
obs
Use o sinal da derivada segunda para determinar intervalos de concavidade e convexidade das funções a seguir:
(a) .
Calcule
Uma caixa de base quadrada e sem tampa possui um volume de 108 polegadas cúbicas. Encontre as dimensões da caixa de maneira que o material usado seja mínimo. [Resp: 6 polegadas de lado e 3 de altura]