Uma caixa de base quadrada e sem tampa possui um volume de 108 polegadas cúbicas. Encontre as dimensões da caixa de maneira que o material usado seja mínimo. [Resp: 6 polegadas de lado e 3 de altura]
Passo 1
Ok, então a gente tem uma caixa com base quadrada, sem tampa, e que precisa ter um volume de 108 polegadas cúbicas. A matéria que vamos usar aqui é de otimização, especificamente minimização de área. Vamos precisar calcular a área total da caixa e achar as dimensões que deixam essa área mínima.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar de
o lado da base quadrada e de
a altura da caixa. Como o volume da caixa é
, temos a equação:
Precisamos expressar
em função de
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a área total do material usado na caixa. A caixa sem tampa tem uma base e quatro laterais. A área total
é:
Substituindo
pela expressão que encontramos:
Passo 4
Para minimizar a área
, vamos derivar
em relação a
e encontrar onde a derivada é zero:
Igualando a derivada a zero:
Passo 5
Resolvendo a equação:
Passo 6
Agora que encontramos
polegadas, vamos achar
:
Resposta
As dimensões da caixa que minimizam o material usado são 6 polegadas de lado e 3 polegadas de altura.