Uma caixa de base quadrada e sem tampa possui um volume de 108 polegadas cúbicas. Encontre as dimensões da caixa de maneira que o material usado seja mínimo. [Resp: 6 polegadas de lado e 3 de altura]

Passo 1

Ok, então a gente tem uma caixa com base quadrada, sem tampa, e que precisa ter um volume de 108 polegadas cúbicas. A matéria que vamos usar aqui é de otimização, especificamente minimização de área. Vamos precisar calcular a área total da caixa e achar as dimensões que deixam essa área mínima.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar de o lado da base quadrada e de a altura da caixa. Como o volume da caixa é , temos a equação:
Precisamos expressar em função de :

Passo 3

Agora, vamos calcular a área total do material usado na caixa. A caixa sem tampa tem uma base e quatro laterais. A área total é:
Substituindo pela expressão que encontramos:

Passo 4

Para minimizar a área , vamos derivar em relação a e encontrar onde a derivada é zero:
Igualando a derivada a zero:

Passo 5

Resolvendo a equação:

Passo 6

Agora que encontramos polegadas, vamos achar :

Resposta

As dimensões da caixa que minimizam o material usado são 6 polegadas de lado e 3 polegadas de altura.

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