Usando a trasformada de Laplace, resolva o seguinte problema ao valor inicia
onde
obs
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais
e
. Aqui,
é uma função delta de Dirac deslocada, ou seja,
. O conteúdo que vamos usar para resolver essa equação é a Transformada de Laplace, que nos ajuda a transformar equações diferenciais em equações algébricas mais fáceis de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a Transformada de Laplace de
é
, então:
Passo 3
Agora, precisamos lembrar como transformar
e
. As propriedades da Transformada de Laplace nos dizem que:
Dado que
e
, isso simplifica para:
E também sabemos que:
Passo 4
Substituindo esses resultados na equação original transformada, temos:
Isso pode ser fatorado como:
Passo 5
Agora, vamos transformar o lado direito da equação. Sabemos que:
E a Transformada de Laplace da função delta é:
Então, no nosso caso:
Passo 6
Substituindo esse valor na equação que temos:
Agora, para encontrar
, isolamos:
Passo 7
Para voltar ao domínio do tempo, precisamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace. Conhecemos que:
E também sabemos que um fator
na Transformada de Laplace corresponde a um deslocamento no tempo. Então, usando a propriedade:
onde
é a função degrau de Heaviside.
Passo 8
Aplicando essa propriedade ao nosso
:
Isso significa que a solução é zero para
e segue a função seno a partir de
.
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Use o sinal da derivada segunda para determinar intervalos de concavidade e convexidade das funções a seguir:
(a) .
(a)
Usando a trasformada de Laplace, resolva o seguinte problema ao valor inicia
onde
(b) Determine extremos absolutos para
no intervalo
.
Calcule