Usando a trasformada de Laplace, resolva o seguinte problema ao valor inicia
onde
obs

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais e . Aqui, é uma função delta de Dirac deslocada, ou seja, . O conteúdo que vamos usar para resolver essa equação é a Transformada de Laplace, que nos ajuda a transformar equações diferenciais em equações algébricas mais fáceis de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a Transformada de Laplace de é , então:

Passo 3

Agora, precisamos lembrar como transformar e . As propriedades da Transformada de Laplace nos dizem que:
Dado que e , isso simplifica para:
E também sabemos que:

Passo 4

Substituindo esses resultados na equação original transformada, temos:
Isso pode ser fatorado como:

Passo 5

Agora, vamos transformar o lado direito da equação. Sabemos que:
E a Transformada de Laplace da função delta é:
Então, no nosso caso:

Passo 6

Substituindo esse valor na equação que temos:
Agora, para encontrar , isolamos:

Passo 7

Para voltar ao domínio do tempo, precisamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace. Conhecemos que:
E também sabemos que um fator na Transformada de Laplace corresponde a um deslocamento no tempo. Então, usando a propriedade:
onde é a função degrau de Heaviside.

Passo 8

Aplicando essa propriedade ao nosso :
Isso significa que a solução é zero para e segue a função seno a partir de .

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Use o sinal da derivada segunda para determinar intervalos de concavidade e convexidade das funções a seguir:
(a) .
Usando a trasformada de Laplace, resolva o seguinte problema ao valor inicia
onde
(b) Determine extremos absolutos para no intervalo .
Calcule