Use o sinal da derivada segunda para determinar intervalos de concavidade e convexidade das funções a seguir:
(a) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o sinal da derivada segunda para descobrir onde a função é côncava ou convexa. Isso envolve calcular a segunda derivada da função e analisar onde ela é positiva ou negativa. Legal? Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . A derivada nos ajuda a entender a inclinação da função em diferentes pontos.
Calculando cada termo:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada , que nos dirá sobre a concavidade da função.
Calculando cada termo:

Passo 4

Vamos fatorar a segunda derivada para facilitar a análise do sinal:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar os pontos críticos onde ou não está definida. No nosso caso:
Resolvendo:
Então, os pontos críticos são .

Passo 6

Vamos dividir a reta real em intervalos usando esses pontos críticos e determinar o sinal de em cada intervalo:

Passo 7

Escolhemos um número de teste em cada intervalo e substituímos na segunda derivada para ver o sinal:
  1. Intervalo , por exemplo, :
  2. Intervalo , por exemplo, :
  3. Intervalo , por exemplo, :
  4. Intervalo , por exemplo, :

Passo 8

Interpretando os sinais:
  • : a função é convexa no intervalo.
  • : a função é côncava no intervalo.

Resposta

A função é:
  • Convexa nos intervalos e .
  • Côncava nos intervalos e .

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obs
(b) Determine extremos absolutos para no intervalo .