Use o sinal da derivada segunda para determinar intervalos de concavidade e convexidade das funções a seguir:
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o sinal da derivada segunda para descobrir onde a função
é côncava ou convexa. Isso envolve calcular a segunda derivada da função e analisar onde ela é positiva ou negativa. Legal? Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
. A derivada nos ajuda a entender a inclinação da função em diferentes pontos.
Calculando cada termo:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
, que nos dirá sobre a concavidade da função.
Calculando cada termo:
Passo 4
Vamos fatorar a segunda derivada para facilitar a análise do sinal:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar os pontos críticos onde
ou não está definida. No nosso caso:
Resolvendo:
Então, os pontos críticos são
.
Passo 6
Vamos dividir a reta real em intervalos usando esses pontos críticos e determinar o sinal de
em cada intervalo:
Passo 7
Escolhemos um número de teste em cada intervalo e substituímos na segunda derivada para ver o sinal:
-
Intervalo
, por exemplo, : -
Intervalo
, por exemplo, : -
Intervalo
, por exemplo, : -
Intervalo
, por exemplo, :
Passo 8
Interpretando os sinais:
-
: a função é convexa no intervalo. -
: a função é côncava no intervalo.
Resposta
A função
é:
- Convexa nos intervalos
e . - Côncava nos intervalos
e .
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obs
(b) Determine extremos absolutos para
no intervalo
.