(b) Determine novas bases B^prime e D^prime a partir das bases B e D, respectivamente, que sejam ortonormais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar novas bases Ortonormais a partir das bases B e D. Aqui, estamos trabalhando com o conteúdo de álgebra linear, especificamente com bases de espaços vetoriais e o conceito de ortonormalidade. Para isso, vamos precisar saber o que é uma base, o que significa ser ortonormal e utilizar o processo de Gram-Schmidt para transformar uma base qualquer em uma base ortonormal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base de um espaço vetorial. Uma base é um conjunto de vetores que são lineares e que, combinados, podem gerar qualquer vetor do espaço. No nosso caso, temos duas bases: B e D.

Passo 3

Agora, o que significa que uma base seja ortonormal? Uma base é ortonormal se todos os vetores são mutuamente ortogonais (ou seja, o produto interno entre qualquer par de vetores é zero) e cada vetor tem norma igual a 1. Isso simplifica muitos cálculos em álgebra linear, especialmente quando estamos lidando com projeções e transformações lineares.

Passo 4

Para transformar uma base qualquer em uma base ortonormal, usamos o processo de Gram-Schmidt. Este método pega um conjunto de vetores linearmente independentes e os transforma em um conjunto de vetores ortonormais que geram o mesmo espaço.

Passo 5

Vamos aplicar o processo de Gram-Schmidt nas bases B e D separadamente. Vamos começar com B:
  1. Tome o primeiro vetor de B e normalize-o, ou seja, divida-o pela sua norma.
  2. Projete o segundo vetor de B no primeiro vetor ortonormal e subtraia essa projeção do segundo vetor.
  3. Normalize o vetor resultante.
  4. Repita o processo para todos os vetores da base B.

Passo 6

Repita o mesmo procedimento para a base D:
  1. Normalize o primeiro vetor de D.
  2. Projete o segundo vetor de D no primeiro vetor ortonormal e subtraia essa projeção.
  3. Normalize o vetor resultante.
  4. Continue esse processo para todos os vetores da base D.

Passo 7

Após aplicar o processo de Gram-Schmidt em ambas as bases, teremos duas novas bases B^prime e D^prime que são ortonormais. Essas bases serão formadas por vetores que são todos ortogonais entre si e t��m norma igual a 1.

Resposta

As novas bases ortonormais são B^prime e D^prime, obtidas aplicando o processo de Gram-Schmidt às bases originais B e D, respectivamente.

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