(b) Determine novas bases
e
a partir das bases
e
, respectivamente, que sejam ortonormais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar novas bases Ortonormais a partir das bases
e
. Aqui, estamos trabalhando com o conteúdo de álgebra linear, especificamente com bases de espaços vetoriais e o conceito de ortonormalidade. Para isso, vamos precisar saber o que é uma base, o que significa ser ortonormal e utilizar o processo de Gram-Schmidt para transformar uma base qualquer em uma base ortonormal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base de um espaço vetorial. Uma base é um conjunto de vetores que são lineares e que, combinados, podem gerar qualquer vetor do espaço. No nosso caso, temos duas bases:
e
.
Passo 3
Agora, o que significa que uma base seja ortonormal? Uma base é ortonormal se todos os vetores são mutuamente ortogonais (ou seja, o produto interno entre qualquer par de vetores é zero) e cada vetor tem norma igual a 1. Isso simplifica muitos cálculos em álgebra linear, especialmente quando estamos lidando com projeções e transformações lineares.
Passo 4
Para transformar uma base qualquer em uma base ortonormal, usamos o processo de Gram-Schmidt. Este método pega um conjunto de vetores linearmente independentes e os transforma em um conjunto de vetores ortonormais que geram o mesmo espaço.
Passo 5
Vamos aplicar o processo de Gram-Schmidt nas bases
e
separadamente. Vamos começar com
:
- Tome o primeiro vetor de
e normalize-o, ou seja, divida-o pela sua norma. - Projete o segundo vetor de
no primeiro vetor ortonormal e subtraia essa projeção do segundo vetor. - Normalize o vetor resultante.
- Repita o processo para todos os vetores da base
.
Passo 6
Repita o mesmo procedimento para a base
:
- Normalize o primeiro vetor de
. - Projete o segundo vetor de
no primeiro vetor ortonormal e subtraia essa projeção. - Normalize o vetor resultante.
- Continue esse processo para todos os vetores da base
.
Passo 7
Após aplicar o processo de Gram-Schmidt em ambas as bases, teremos duas novas bases
e
que são ortonormais. Essas bases serão formadas por vetores que são todos ortogonais entre si e t��m norma igual a 1.
Resposta
As novas bases ortonormais são
e
, obtidas aplicando o processo de Gram-Schmidt às bases originais
e
, respectivamente.