Represente geometricamente o campo vetorial dado.
a) nu(x, y)=(0, x^2).
b) h(x, y)=(1,2).
c) F(x, y)=(-y, x).
d. eta(x, y)=(xraizx^2+y^2, yraizx^2+y^2).
e) eta(x, y)=(-yraizx^2+y^2, xraizx^2+y^2).

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é representar geometricamente o campo vetorial nu(x, y) = (0, x^2). Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos vetoriais, para entender como esse campo se comporta no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada componente do vetor. O vetor nu tem duas componentes: a componente x é sempre 0, o que significa que não tem movimento na direção horizontal. Já a componente y é igual a x^2, que é uma função quadrática.

Passo 3

Como a componente y depende de x^2, isso quer dizer que o comprimento do vetor na direção vertical aumenta à medida que nos afastamos do eixo y. Além disso, como x^2 é sempre positivo ou zero, os vetores sempre apontam para cima ou ficam nulos.

Passo 4

Para representar isso geometricamente, imagine uma série de vetores posicionados em diferentes pontos do plano. Em cada ponto (x, y), o vetor vai ter comprimento proporcional a x^2 e vai apontar verticalmente para cima, já que a componente horizontal é zero.

Passo 5

Isso resulta em um campo onde, ao longo do eixo y, os vetores têm comprimento zero (pois x=0). À medida que você se move para a direita ou para a esquerda do eixo y, os vetores começam a subir com um comprimento que cresce com o quadrado da distância em x.

Passo 6

Agora vamos representar geometricamente o campo vetorial h(x, y) = (1, 2). Esse é um campo vetorial constante, então vamos entender o que isso significa usando conceitos básicos de campos vetoriais.

Passo 7

Um campo vetorial constante tem a mesma direção e magnitude em todos os pontos do espaço. No caso de h(x, y) = (1, 2), cada vetor tem componente x igual a 1 e componente y igual a 2.

Passo 8

Isso significa que, não importa em qual ponto (x, y) você coloque o vetor, ele sempre vai apontar na mesma direção e ter o mesmo tamanho.

Passo 9

Para representar isso graficamente, você desenha vetores iguais em todas as posições do plano. Cada vetor vai ter um deslocamento de 1 unidade na direção horizontal e 2 unidades na direção vertical.

Passo 10

Visualmente, isso aparece como um campo de setas paralelas e iguais, todas apontando na mesma direção, indicando uma força ou direção uniforme em todo o espaço.

Passo 11

Vamos agora representar o campo vetorial F(x, y) = (-y, x). Esse campo tem componentes que dependem das coordenadas x e y, então vamos explorar como ele se comporta.

Passo 12

A componente x do vetor é -y e a componente y é x. Isso sugere uma relação circular entre as direções dos vetores e as posições no plano.

Passo 13

Se pensarmos em pontos em círculo, por exemplo, para cada ponto (x, y) na circunferência, o vetor F aponta perpendicularmente à posição, indicando uma rotação em torno da origem.

Passo 14

Para representar isso geometricamente, em cada ponto do plano, desenhamos um vetor que é perpendicular ao raio que liga o ponto à origem, com magnitude proporcional à distância do ponto à origem.

Passo 15

O resultado é um campo vetorial circular, onde os vetores circulam em torno da origem, formando padrões de rotação.

Passo 16

Vamos representar o campo vetorial eta(x, y) = (xraizx^2+y^2, yraizx^2+y^2). Esse campo normaliza os vetores de posição, então vamos entender como isso funciona.

Passo 17

Cada componente do vetor é a coordenada correspondente dividida pela distância até a origem, ou seja, pelo módulo do vetor posição raizx^2+y^2. Isso significa que todos os vetores têm magnitude igual a 1.

Passo 18

Como todos os vetores têm magnitude unitária, o campo vetorial representa apenas a direção dos vetores posição, sem considerar o seu comprimento.

Passo 19

Geometricamente, isso aparece como um campo de vetores que são todas de comprimento igual a 1 e apontam radialmente para fora da origem.

Passo 20

Em cada ponto do plano, o vetor resultante vai na direção que aponta para longe da origem, com comprimento constante, formando um padrão de radiação.

Passo 21

Por fim, vamos representar o campo vetorial eta(x, y) = (-yraizx^2+y^2, xraizx^2+y^2). Esse campo também normaliza os vetores de posição, mas de uma forma diferente.

Passo 22

Cada componente do vetor envolve uma rotação das coordenadas originais. A componente x agora é -y sobre a distância, e a componente y é x sobre a distância.

Passo 23

Isso faz com que os vetores sejam perpendiculares aos vetores posição, apontando de forma tangencial. A magnitude continua sendo 1, já que os vetores são normalizados.

Passo 24

Geometricamente, isso resulta em um campo de vetores que circulam ao redor da origem, movendo-se de forma tangencial e uniforme em todas as direções.

Passo 25

Esse padrão é típico de campos circulares, onde os vetores estão sempre perpendiculares aos radiais, indicando uma rotação ao redor da origem.

Resposta

O campo vetorial eta(x, y) = (-yraizx^2+y^2, xraizx^2+y^2) é representado geometricamente por vetores de magnitude constante igual a 1, todos circulando de forma tangencial ao redor da origem, criando um padrão rotativo uniforme no plano.

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