Represente geometricamente o campo vetorial dado.
a)
.
b)
.
c)
.
d.
.
e)
.
a)
b)
c)
d.
e)
Passo 1
Beleza, o que a gente tem aqui é representar geometricamente o campo vetorial
. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos vetoriais, para entender como esse campo se comporta no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada componente do vetor. O vetor
tem duas componentes: a componente
é sempre
, o que significa que não tem movimento na direção horizontal. Já a componente
é igual a
, que é uma função quadrática.
Passo 3
Como a componente
depende de
, isso quer dizer que o comprimento do vetor na direção vertical aumenta à medida que nos afastamos do eixo
. Além disso, como
é sempre positivo ou zero, os vetores sempre apontam para cima ou ficam nulos.
Passo 4
Para representar isso geometricamente, imagine uma série de vetores posicionados em diferentes pontos do plano. Em cada ponto
, o vetor vai ter comprimento proporcional a
e vai apontar verticalmente para cima, já que a componente horizontal é zero.
Passo 5
Isso resulta em um campo onde, ao longo do eixo
, os vetores têm comprimento zero (pois
). À medida que você se move para a direita ou para a esquerda do eixo
, os vetores começam a subir com um comprimento que cresce com o quadrado da distância em
.
Passo 6
Agora vamos representar geometricamente o campo vetorial
. Esse é um campo vetorial constante, então vamos entender o que isso significa usando conceitos básicos de campos vetoriais.
Passo 7
Um campo vetorial constante tem a mesma direção e magnitude em todos os pontos do espaço. No caso de
, cada vetor tem componente
igual a
e componente
igual a
.
Passo 8
Isso significa que, não importa em qual ponto
você coloque o vetor, ele sempre vai apontar na mesma direção e ter o mesmo tamanho.
Passo 9
Para representar isso graficamente, você desenha vetores iguais em todas as posições do plano. Cada vetor vai ter um deslocamento de
unidade na direção horizontal e
unidades na direção vertical.
Passo 10
Visualmente, isso aparece como um campo de setas paralelas e iguais, todas apontando na mesma direção, indicando uma força ou direção uniforme em todo o espaço.
Passo 11
Vamos agora representar o campo vetorial
. Esse campo tem componentes que dependem das coordenadas
e
, então vamos explorar como ele se comporta.
Passo 12
A componente
do vetor é
e a componente
é
. Isso sugere uma relação circular entre as direções dos vetores e as posições no plano.
Passo 13
Se pensarmos em pontos em círculo, por exemplo, para cada ponto
na circunferência, o vetor
aponta perpendicularmente à posição, indicando uma rotação em torno da origem.
Passo 14
Para representar isso geometricamente, em cada ponto do plano, desenhamos um vetor que é perpendicular ao raio que liga o ponto à origem, com magnitude proporcional à distância do ponto à origem.
Passo 15
O resultado é um campo vetorial circular, onde os vetores circulam em torno da origem, formando padrões de rotação.
Passo 16
Vamos representar o campo vetorial
. Esse campo normaliza os vetores de posição, então vamos entender como isso funciona.
Passo 17
Cada componente do vetor é a coordenada correspondente dividida pela distância até a origem, ou seja, pelo módulo do vetor posição
. Isso significa que todos os vetores têm magnitude igual a
.
Passo 18
Como todos os vetores têm magnitude unitária, o campo vetorial representa apenas a direção dos vetores posição, sem considerar o seu comprimento.
Passo 19
Geometricamente, isso aparece como um campo de vetores que são todas de comprimento igual a
e apontam radialmente para fora da origem.
Passo 20
Em cada ponto do plano, o vetor resultante vai na direção que aponta para longe da origem, com comprimento constante, formando um padrão de radiação.
Passo 21
Por fim, vamos representar o campo vetorial
. Esse campo também normaliza os vetores de posição, mas de uma forma diferente.
Passo 22
Cada componente do vetor envolve uma rotação das coordenadas originais. A componente
agora é
sobre a distância, e a componente
é
sobre a distância.
Passo 23
Isso faz com que os vetores sejam perpendiculares aos vetores posição, apontando de forma tangencial. A magnitude continua sendo
, já que os vetores são normalizados.
Passo 24
Geometricamente, isso resulta em um campo de vetores que circulam ao redor da origem, movendo-se de forma tangencial e uniforme em todas as direções.
Passo 25
Esse padrão é típico de campos circulares, onde os vetores estão sempre perpendiculares aos radiais, indicando uma rotação ao redor da origem.
Resposta
O campo vetorial
é representado geometricamente por vetores de magnitude constante igual a
, todos circulando de forma tangencial ao redor da origem, criando um padrão rotativo uniforme no plano.