a) Estabelecer a integral que da o comprimento da curva
desde
até
, onde
e
.
b) Prove que o produto do comprimento de esta curva vezes
é igual a area da região limitada por
, o eixo
, o eixo
e a reta
.
c) Calcule esta integral e encontre o comprimento da curva quando
.
b) Prove que o produto do comprimento de esta curva vezes
c) Calcule esta integral e encontre o comprimento da curva quando
Passo 1
E aí! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem uma curva definida por
e precisa encontrar o comprimento dessa curva entre
e
. Além disso, vamos mostrar uma relação interessante entre esse comprimento e a área da região limitada pela curva, os eixos
e
, e a reta
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como integrais e derivadas. Vamos por partes!
Passo 2
Parte a) Para encontrar o comprimento da curva, usamos a fórmula do comprimento de arco para uma função
:
Primeiro, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
A derivada de
é
multiplicada pela derivada de
:
Agora, substituímos na fórmula do comprimento:
Sabemos que
, então:
Portanto, a integral fica:
Passo 3
Parte b) Agora, vamos provar que o produto do comprimento da curva por
é igual à área da região mencionada.
A área sob a curva
entre
e
é dada por:
Comparando com a expressão do comprimento que encontramos na parte a):
Multiplicando o comprimento por
:
Assim, provamos que:
Passo 4
Parte c) Vamos calcular a integral para encontrar o comprimento da curva quando
.
Primeiro, integramos a função
:
Sabemos que a integral de
em relação a
é
. Aplicando a substituição
, temos:
Então, avaliando de 0 a 2:
Como
:
Esse é o comprimento da curva para
.
Resposta
O comprimento da curva quando
é
.