a) Estabelecer a integral que da o comprimento da curva y=c cdot cosh (xc) desde x=0 até x=a, onde a>0 e c>0.
b) Prove que o produto do comprimento de esta curva vezes c é igual a area da região limitada por y=c cdot cosh (xc), o eixo X, o eixo Y e a reta x=a.
c) Calcule esta integral e encontre o comprimento da curva quando a=2.

Passo 1

E aí! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem uma curva definida por e precisa encontrar o comprimento dessa curva entre e . Além disso, vamos mostrar uma relação interessante entre esse comprimento e a área da região limitada pela curva, os eixos e , e a reta . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como integrais e derivadas. Vamos por partes!

Passo 2

Parte a) Para encontrar o comprimento da curva, usamos a fórmula do comprimento de arco para uma função Comprimento = integralx1^x2 raiz1 + (dydx)^2 , dx :
y = c cdot cosh(xc)
Primeiro, vamos calcular a derivada de dydx = c cdot sinh(xc) cdot (1c) = sinh(xc) em relação a Comprimento = integral0^a raiz1 + sinh^2(xc) , dx :
1 + sinh^2(xc) = cosh^2(xc)
A derivada de Comprimento = integral0^a cosh(xc) , dx é multiplicada pela derivada de :
Agora, substituímos na fórmula do comprimento:
Sabemos que , então:
Portanto, a integral fica:

Passo 3

Parte b) Agora, vamos provar que o produto do comprimento da curva por Área = integral0^a c cdot cosh(xc) , dx é igual à área da região mencionada.
A área sob a curva Comprimento = integral0^a cosh(xc) , dx entre c cdot Comprimento = c cdot integral0^a cosh(xc) , dx = integral0^a c cdot cosh(xc) , dx = Área e c cdot Comprimento = Área é dada por:
Á
Comparando com a expressão do comprimento que encontramos na parte a):
Multiplicando o comprimento por :
Á
Assim, provamos que:
Á

Passo 4

Parte c) Vamos calcular a integral para encontrar o comprimento da curva quando Comprimento = integral0^2 cosh(xc) , dx .
Primeiro, integramos a função integral cosh(xc) , dx = c cdot sinh(xc) + C :
Comprimento = c cdot sinh(2c) - c cdot sinh(0)
Sabemos que a integral de Comprimento = c cdot sinh(2c) em relação a é . Aplicando a substituição , temos:
Então, avaliando de 0 a 2:
Como :
Esse é o comprimento da curva para .

Resposta

O comprimento da curva quando é .

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