Se F(r)=r^n cdot r onde r=x i+y j+z k e r=|r|. Ache div F e mostre que
grad(div F)=n(n+3) r^n-2 cdot r

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial definido por , onde e é o módulo de . O objetivo é encontrar a divergente de , denotada por , e depois mostrar que o gradiente dessa divergente é igual a . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente divergente e gradiente em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergente de div F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z . A divergente de um campo vetorial Fx = r^n x, Fy = r^n y, Fz = r^n z é dada por:
No nosso caso, , então vamos expressar cada componente:

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de cada componente em relação à sua respectiva variável:
partial Fxpartial x = partialpartial x(r^n x)
Para isso, usamos a regra do produto:
partialpartial x(r^n x) = x partial r^npartial x + r^n partial xpartial x
Sabemos que partial r^npartial x = n r^n-2 cdot x , então:
partial Fxpartial x = x cdot n r^n-2 x + r^n cdot 1 = n r^n-2 x^2 + r^n
Portanto:

Passo 4

De forma similar, calculamos as demais derivadas:
partial Fypartial y = n r^n-2 y^2 + r^n
partial Fzpartial z = n r^n-2 z^2 + r^n

Passo 5

Agora, somamos todas essas derivadas para encontrar a divergente:
div F = (n r^n-2 x^2 + r^n) + (n r^n-2 y^2 + r^n) + (n r^n-2 z^2 + r^n)
Simplificando:
div F = n r^n-2 (x^2 + y^2 + z^2) + 3 r^n
Como div F = n r^n-2 r^2 + 3 r^n = n r^n + 3 r^n = (n + 3) r^n , temos:

Passo 6

Agora que temos grad f = partial fpartial x i + partial fpartial y j + partial fpartial z k , vamos calcular o gradiente dessa divergente. O gradiente de uma função escalar grad(div F) = (n + 3) grad(r^n) é dado por:
No nosso caso, , então:

Passo 7

Vamos calcular partial r^npartial x = n r^n-2 x . Sabendo que:
partial r^npartial y = n r^n-2 y
partial r^npartial z = n r^n-2 z
grad(r^n) = n r^n-2 x i + n r^n-2 y j + n r^n-2 z k = n r^n-2 r
Portanto:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão do gradiente da divergente:
grad(div F) = (n + 3) n r^n-2 r = n(n + 3) r^n-2 r

Resposta

Portanto, mostramos que:
grad(div F) = n(n + 3) r^n-2 cdot r

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