Se
onde
e
. Ache
e mostre que
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial definido por
, onde
e
é o módulo de
. O objetivo é encontrar a divergente de
, denotada por
, e depois mostrar que o gradiente dessa divergente é igual a
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente divergente e gradiente em coordenadas cartesianas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergente de
. A divergente de um campo vetorial
é dada por:
No nosso caso,
, então vamos expressar cada componente:
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de cada componente em relação à sua respectiva variável:
Para isso, usamos a regra do produto:
Sabemos que
, então:
Portanto:
Passo 4
De forma similar, calculamos as demais derivadas:
Passo 5
Agora, somamos todas essas derivadas para encontrar a divergente:
Simplificando:
Como
, temos:
Passo 6
Agora que temos
, vamos calcular o gradiente dessa divergente. O gradiente de uma função escalar
é dado por:
No nosso caso,
, então:
Passo 7
Vamos calcular
. Sabendo que:
Portanto:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão do gradiente da divergente:
Resposta
Portanto, mostramos que: