Seja a função r, a distancia de um ponto (x, y, z) à origem (0,0,0). Determinar o gradiente desta função.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o gradiente da função r, que representa a distância de um ponto (x, y, z) até a origem (0,0,0). Isso está ligado ao estudo de cálculo multivariável, especificamente ao conceito de gradiente, que nos mostra a direção de maior crescimento de uma função. Para resolver, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e aplicar a definição de gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a função que estamos trabalhando. A função r dá a distância de qualquer ponto (x, y, z) até a origem. A fórmula para calcular essa distância no espaço tridimensional é:
r(x, y, z) = raizx^2 + y^2 + z^2

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o gradiente. O gradiente de uma função é um vetor que aponta na direção em que a função cresce mais rapidamente e tem componentes que são as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis. Então, para encontrar o gradiente de r, precisamos calcular as derivadas parciais de r em relação a x, y e z.

Passo 4

Vamos começar calculando a derivada parcial de r em relação a x:
partial rpartial x = ddx ( raizx^2 + y^2 + z^2 ) = xraizx^2 + y^2 + z^2 = xr

Passo 5

Da mesma forma, calculamos as derivadas parciais em relação a y e z:
partial rpartial y = yraizx^2 + y^2 + z^2 = yr
partial rpartial z = zraizx^2 + y^2 + z^2 = zr

Passo 6

Com essas derivadas parciais, juntamos tudo para formar o vetor gradiente. O gradiente de r é dado por:
nabla r = ( partial rpartial x, partial rpartial y, partial rpartial z ) = ( xr, yr, zr )

Resposta

O gradiente da função r é:
nabla r = ( xr, yr, zr )

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