Seja a função
, a distancia de um ponto
à origem
. Determinar o gradiente desta função.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o gradiente da função
, que representa a distância de um ponto
até a origem
. Isso está ligado ao estudo de cálculo multivariável, especificamente ao conceito de gradiente, que nos mostra a direção de maior crescimento de uma função. Para resolver, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e aplicar a definição de gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é a função que estamos trabalhando. A função
dá a distância de qualquer ponto
até a origem. A fórmula para calcular essa distância no espaço tridimensional é:
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o gradiente. O gradiente de uma função é um vetor que aponta na direção em que a função cresce mais rapidamente e tem componentes que são as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis. Então, para encontrar o gradiente de
, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Passo 4
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Da mesma forma, calculamos as derivadas parciais em relação a
e
:
Passo 6
Com essas derivadas parciais, juntamos tudo para formar o vetor gradiente. O gradiente de
é dado por:
Resposta
O gradiente da função
é: