(b) Determine os números reais A, B que nos permite escrever
(1-n)/(2^(n+1))=(n+A)/(2^(n+1))+(B*n)/(2^n)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Queremos encontrar os números reais A e B que permitem escrever a expressão
como a soma de duas outras frações:
Para isso, vamos precisar igualar essas duas expressões e resolver para A e B.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação que representa o problema:

Passo 3

Vamos simplificar a parte direita da equação. Observe que pode ser reescrito como , já que multiplicar o numerador e o denominador por 2 não altera o valor da fração:

Passo 4

Agora que as duas frações do lado direito têm o mesmo denominador, podemos somá-las diretamente:

Passo 5

Como os denominadores são iguais, podemos igualar os numeradores:
Agora, vamos organizar os termos semelhantes:

Passo 6

Para que a igualdade seja verdadeira para todo valor de n, os coeficientes dos termos independentes e dos termos com n devem ser iguais em ambos os lados da equação.
Termo constante:
Coeficiente de n:

Passo 7

Agora, resolvemos para A e B:
  1. De , temos:
  2. De , resolvemos para B:

Resposta

Os números reais que satisfazem a equação são e .

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