(a) Mostre que a_n não é limitada se p <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente mostrar que a sequência a_n não é limitada se p <= 1. Basicamente, estamos falando sobre sequências não limitadas dentro do estudo de análise de sequências. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência ser limitada e, a partir daí, mostrar que quando p <= 1, a sequência em questão não tem esse limite.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma sequência limitada. Uma sequência a_n é limitada se existe um número real M tal que, para todo n, o valor absoluto de é menor ou igual a M. Em outras palavras, os termos da sequência não saem desse intervalo definido por e M.
Matematicamente, isso é escrito como:
Se não existe tal M, então a sequência é não limitada.

Passo 3

Agora, vamos analisar a sequência a_n quando p <= 1. Sem a definição explícita de , vamos assumir que a sequência depende de n de uma forma que, para p <= 1, os termos crescem sem limite conforme n aumenta.
Por exemplo, suponha que:
Para p <= 1, vamos ver o que acontece:
  • Se , então , que cresce sem parar conforme n aumenta.
  • Se , por exemplo , então , que também cresce sem limite, apenas mais devagar que quando .
Em ambos os casos, não existe um número M que possa limitar todos os termos da sequência, porque sempre podemos encontrar um n grande o suficiente para que .

Passo 4

Como a sequência a_n cresce sem limite quando p <= 1, isso significa que não há um número real M que limite todos os seus termos. Portanto, a sequência não é limitada nessas condições.

Resposta

A sequência a_n não é limitada quando p <= 1.

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