(a) Mostre que
não é limitada se
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente mostrar que a sequência
não é limitada se
. Basicamente, estamos falando sobre sequências não limitadas dentro do estudo de análise de sequências. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência ser limitada e, a partir daí, mostrar que quando
, a sequência em questão não tem esse limite.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma sequência limitada. Uma sequência
é limitada se existe um número real
tal que, para todo
, o valor absoluto de
é menor ou igual a
. Em outras palavras, os termos da sequência não saem desse intervalo definido por
e
.
Matematicamente, isso é escrito como:
Se não existe tal
, então a sequência é não limitada.
Passo 3
Agora, vamos analisar a sequência
quando
. Sem a definição explícita de
, vamos assumir que a sequência depende de
de uma forma que, para
, os termos
crescem sem limite conforme
aumenta.
Por exemplo, suponha que:
Para
, vamos ver o que acontece:
- Se
, então , que cresce sem parar conforme aumenta. - Se
, por exemplo , então , que também cresce sem limite, apenas mais devagar que quando .
Em ambos os casos, não existe um número
que possa limitar todos os termos da sequência, porque sempre podemos encontrar um
grande o suficiente para que
.
Passo 4
Como a sequência
cresce sem limite quando
, isso significa que não há um número real
que limite todos os seus termos. Portanto, a sequência não é limitada nessas condições.
Resposta
A sequência
não é limitada quando
.
Exercícios relacionados
(m)
(d)
(b) Determine os números reais
que nos permite escrever
( ) Seja
a sequência de somas parciais de
. Se
é convergente, então
.