(a) Mostre que não é limitada se .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente mostrar que a sequência não é limitada se . Basicamente, estamos falando sobre sequências não limitadas dentro do estudo de análise de sequências. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência ser limitada e, a partir daí, mostrar que quando , a sequência em questão não tem esse limite.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma sequência limitada. Uma sequência é limitada se existe um número real tal que, para todo , o valor absoluto de é menor ou igual a . Em outras palavras, os termos da sequência não saem desse intervalo definido por e .
Matematicamente, isso é escrito como:
Se não existe tal , então a sequência é não limitada.

Passo 3

Agora, vamos analisar a sequência quando . Sem a definição explícita de , vamos assumir que a sequência depende de de uma forma que, para , os termos crescem sem limite conforme aumenta.
Por exemplo, suponha que:
Para , vamos ver o que acontece:
  • Se , então , que cresce sem parar conforme aumenta.
  • Se , por exemplo , então , que também cresce sem limite, apenas mais devagar que quando .
Em ambos os casos, não existe um número que possa limitar todos os termos da sequência, porque sempre podemos encontrar um grande o suficiente para que .

Passo 4

Como a sequência cresce sem limite quando , isso significa que não há um número real que limite todos os seus termos. Portanto, a sequência não é limitada nessas condições.

Resposta

A sequência não é limitada quando .

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(m)
(d)
(b) Determine os números reais que nos permite escrever
( ) Seja a sequência de somas parciais de . Se é convergente, então .