(m)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício está relacionado com o estudo de limites no cálculo, especificamente analisando como funções diferentes (polinômios e exponenciais) se comportam quando
vai para o infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender qual dessas funções cresce mais rápido conforme
aumenta bastante.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as duas partes da fração:
- No numerador, temos
, que é um polinômio de grau 2. Polinômios crescem rapidamente, mas de forma “controlada”. - No denominador, temos
, que é uma função exponencial. As funções exponenciais crescem muito, muito rápido à medida que aumenta.
Passo 3
Sabemos que, em geral, funções exponenciais crescem mais rápido que funções polinomiais quando
vai para o infinito. Isso significa que, mesmo que
aumente,
aumenta ainda mais rápido. Portanto, o denominador da nossa fração vai crescer muito mais do que o numerador.
Passo 4
Quando o denominador cresce muito mais rápido que o numerador, a fração toda tende a se aproximar de zero. Isso acontece porque, com o denominador aumentando para infinito, a divisão de um número que cresce mais devagar por um que cresce extremamente rápido resulta em um valor cada vez menor.
Resposta
Exercícios relacionados
(d)
Encontre
e o
.
div
(a) Mostre que
não é limitada se
.
(b) Determine os números reais
que nos permite escrever