(m)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado com o estudo de limites no cálculo, especificamente analisando como funções diferentes (polinômios e exponenciais) se comportam quando vai para o infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender qual dessas funções cresce mais rápido conforme aumenta bastante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as duas partes da fração:
  1. No numerador, temos , que é um polinômio de grau 2. Polinômios crescem rapidamente, mas de forma “controlada”.
  2. No denominador, temos , que é uma função exponencial. As funções exponenciais crescem muito, muito rápido à medida que aumenta.

Passo 3

Sabemos que, em geral, funções exponenciais crescem mais rápido que funções polinomiais quando vai para o infinito. Isso significa que, mesmo que aumente, aumenta ainda mais rápido. Portanto, o denominador da nossa fração vai crescer muito mais do que o numerador.

Passo 4

Quando o denominador cresce muito mais rápido que o numerador, a fração toda tende a se aproximar de zero. Isso acontece porque, com o denominador aumentando para infinito, a divisão de um número que cresce mais devagar por um que cresce extremamente rápido resulta em um valor cada vez menor.

Resposta

Exercícios relacionados

(d)
Encontre e o .
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(a) Mostre que não é limitada se .
(b) Determine os números reais que nos permite escrever