( ) Seja a sequência de somas parciais de . Se é convergente, então .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma sequência de somas parciais, chamada , que é formada a partir de uma sequência de termos . A questão quer a gente provar que, se essa sequência de somas parciais converge, então o limite dos termos quando vai para o infinito é zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são somas parciais. A soma parcial é a soma dos primeiros termos da sequência , ou seja:

Passo 3

Agora, se a sequência das somas parciais é convergente, isso significa que existe um número real tal que, à medida que aumenta, se aproxima cada vez mais de . Em termos de limite:

Passo 4

Para encontrar o limite de , vamos usar a relação entre os termos consecutivos das somas parciais. Observe que:

Passo 5

Como converge para , sabemos que:

Passo 6

Portanto, podemos calcular o limite de :

Passo 7

Isso significa que:

Resposta

Portanto, se a sequência das somas parciais é convergente, então o limite dos termos quando tende ao infinito é zero.

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(b) Determine os números reais que nos permite escrever
(a) Mostre que não é limitada se .
§
Calcule, caso exista:
j)