( ) Seja
a sequência de somas parciais de
. Se
é convergente, então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma sequência de somas parciais, chamada
, que é formada a partir de uma sequência de termos
. A questão quer a gente provar que, se essa sequência de somas parciais
converge, então o limite dos termos
quando
vai para o infinito é zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são somas parciais. A soma parcial
é a soma dos primeiros
termos da sequência
, ou seja:
Passo 3
Agora, se a sequência das somas parciais
é convergente, isso significa que existe um número real
tal que, à medida que
aumenta,
se aproxima cada vez mais de
. Em termos de limite:
Passo 4
Para encontrar o limite de
, vamos usar a relação entre os termos consecutivos das somas parciais. Observe que:
Passo 5
Como
converge para
, sabemos que:
Passo 6
Portanto, podemos calcular o limite de
:
Passo 7
Isso significa que:
Resposta
Portanto, se a sequência das somas parciais
é convergente, então o limite dos termos
quando
tende ao infinito é zero.
Exercícios relacionados
(b) Determine os números reais
que nos permite escrever
(a) Mostre que
não é limitada se
.
§
Calcule, caso exista:
j)
j)