( ) Seja (Sn) a sequência de somas parciais de an. Se (Sn) é convergente, então lim n +infty an=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma sequência de somas parciais, chamada (Sn), que é formada a partir de uma sequência de termos an. A questão quer a gente provar que, se essa sequência de somas parciais (Sn) converge, então o limite dos termos an quando n vai para o infinito é zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são somas parciais. A soma parcial Sn é a soma dos primeiros n termos da sequência an, ou seja:
Sn = a1 + a2 + a3 + dots + an

Passo 3

Agora, se a sequência das somas parciais (Sn) é convergente, isso significa que existe um número real S tal que, à medida que n aumenta, Sn se aproxima cada vez mais de S. Em termos de limite:
limn to +infty Sn = S

Passo 4

Para encontrar o limite de an, vamos usar a relação entre os termos consecutivos das somas parciais. Observe que:
an+1 = Sn+1 - Sn

Passo 5

Como (Sn) converge para S, sabemos que:
limn to +infty Sn = S e limn to +infty Sn+1 = S

Passo 6

Portanto, podemos calcular o limite de an+1:
limn to +infty an+1 = limn to +infty (Sn+1 - Sn) = S - S = 0

Passo 7

Isso significa que:
limn to +infty an = 0

Resposta

Portanto, se a sequência das somas parciais (Sn) é convergente, então o limite dos termos an quando n tende ao infinito é zero.

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