§ lim x +infty(1+1x)^a x, a neq 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está ligado ao estudo de limites envolvendo exponenciais e funções logarítmicas. Para resolver, vamos precisar entender a definição do número e como aplicar a regra de limites exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar a visualização. Temos:
(1+1x)^a x
Sabemos que tende a quando vai para o infinito. Vamos usar essa propriedade para resolver o nosso limite.

Passo 3

Vamos decompor o expoente (1+1x)^a x = [(1+1x)^x]^a da seguinte maneira:
Isso nos ajuda a isolar a parte que sabemos que tende a .

Passo 4

Sabendo que [(1+1x)^x]^a approx e^a , podemos substituir na nossa expressão:
À medida que tende ao infinito, a expressão dentro dos colchetes se aproxima de , então elevando a resulta em .

Resposta

Portanto, .

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