b) Determine uma série de potências para seu raio de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma série de potências para a função e descobrir qual é o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries de Taylor e manipular a função pra encaixar na forma de uma série que a gente já conhece.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar reescrever a função de um jeito que facilite usar uma série de potências conhecida. A gente pode fatorar o 4 dentro do logaritmo:
Aqui, é uma constante e a parte que vamos expandir em série é .
Passo 3
Sabemos que a série de Taylor para é:
No nosso caso, . Então, substituindo na série:
Passo 4
Agora, juntando tudo, a série de potências para fica:
Essa é a expressão que representa a função como uma série de potências.
Passo 5
Para encontrar o raio de convergência, olhamos para a condição da série que a gente usou: . Isso significa que: