b) Determine uma série de potências para seu raio de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma série de potências para a função e descobrir qual é o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries de Taylor e manipular a função pra encaixar na forma de uma série que a gente já conhece.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar reescrever a função de um jeito que facilite usar uma série de potências conhecida. A gente pode fatorar o 4 dentro do logaritmo:
Aqui, é uma constante e a parte que vamos expandir em série é .

Passo 3

Sabemos que a série de Taylor para é:
No nosso caso, . Então, substituindo na série:

Passo 4

Agora, juntando tudo, a série de potências para fica:
Essa é a expressão que representa a função como uma série de potências.

Passo 5

Para encontrar o raio de convergência, olhamos para a condição da série que a gente usou: . Isso significa que:
Então, o raio de convergência é .

Resposta

A série de potências para é:
E o raio de convergência dessa série é 4.

Exercícios relacionados

b) Para a função , determine os desenvolvimentos seguintes e indique os respectivos intervalos de convergência: i. em série de potências em torno de ;
Seja uma série de potências, com raio de convergência 2. Diga, justificando, quais das seguintes afirmações são necessariamente verdadeiras e quais são necessariamente falsas: c) ( ) ;
Determine o domínio da função , sendo: g)
Encontre uma expansão em série de potências de x para . Usando isto, prove que .