b) Para a função
, determine os desenvolvimentos seguintes e indique os respectivos intervalos de convergência: i. em série de potências em torno de
;
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e queremos desenvolver essa função em uma série de potências ao redor de
. Para isso, vamos usar a série de Taylor, que nos ajuda a representar funções como somas infinitas de potências. Precisamos também determinar para quais valores de
essa série converge, ou seja, onde ela é válida.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar o desenvolvimento da série. Vamos definir
. Assim,
. Substituindo na função original:
Agora, nossa função está em termos de
, e queremos expandi-la em série de potências em torno de
(que corresponde a
).
Passo 3
Lembramos que a expansão em série de Taylor para
ao redor de
é:
Essa é uma série geométrica onde cada termo é
.
Passo 4
Substituindo
de volta na série, temos:
Então, o desenvolvimento em série de potências de
em torno de
é:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série
converge quando
. Como
, temos:
Isso significa que:
Portanto, a série converge para todos os
no intervalo
.
Resposta
O desenvolvimento em série de potências da função
em torno de
é:
E o intervalo de convergência dessa série é
.