b) Para a função , determine os desenvolvimentos seguintes e indique os respectivos intervalos de convergência: i. em série de potências em torno de ;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos desenvolver essa função em uma série de potências ao redor de . Para isso, vamos usar a série de Taylor, que nos ajuda a representar funções como somas infinitas de potências. Precisamos também determinar para quais valores de essa série converge, ou seja, onde ela é válida.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar o desenvolvimento da série. Vamos definir . Assim, . Substituindo na função original:
Agora, nossa função está em termos de , e queremos expandi-la em série de potências em torno de (que corresponde a ).

Passo 3

Lembramos que a expansão em série de Taylor para ao redor de é:
Essa é uma série geométrica onde cada termo é .

Passo 4

Substituindo de volta na série, temos:
Então, o desenvolvimento em série de potências de em torno de é:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série converge quando . Como , temos:
Isso significa que:
Portanto, a série converge para todos os no intervalo .

Resposta

O desenvolvimento em série de potências da função em torno de é:
E o intervalo de convergência dessa série é .

Exercícios relacionados

Seja uma série de potências, com raio de convergência 2. Diga, justificando, quais das seguintes afirmações são necessariamente verdadeiras e quais são necessariamente falsas: c) ( ) ;
a) Utilize a série de potências da função , para determinar uma representação em série de potências para , encontrando o raio de convergência.
b) Determine uma série de potências para seu raio de convergência.
Determine o domínio da função , sendo: g)